Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\] On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé$\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

1. 1. Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
   2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
   2. Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
   1. Interpréter géométriquement $d_n$.
   2. Calculer $d_0$.
   3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
   4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
4. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
   3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
   4. Justifier cette construction.