Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A($1~;~1~;~1$) appartient-il au plan $P_m$ ?
Si le point $A(1;1;1)$ appartient au plan $P_m$ alors ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
$\dfrac{1}{4}m^2+m-1+\dfrac{1}{2}m-3 = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m-4=0$
$\Leftrightarrow m^2 + 6m-16=0$
$\Delta = 36+4\times 16 = 100>0$
Il y a donc deux racines réelles $m_1 = \dfrac{-6-\sqrt{100}}{2} = -8$ et $m_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}=2$.
Le point $A$ appartient donc au plan $P_m$ si $m=-8$ ou si $m=2$.
$\quad$
2. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
Une équation de $P_1$ est $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$
Une équation de $P_{-4}$ est $4x-5y-2z-3=0$
$\quad$
Regardons si la droite $(d)$ est bien incluse dans chacun des deux plans.
On remplace $x$, $y$ et $z$ par les équations de $(d)$ dans chacune des deux équations.
Pour $P_1$ : $\dfrac{12-2t}{4}+\dfrac{1}{2}t-3 = 3-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t-3=0$
Pour $P_{-4}$ : $4(12-2t)-5(9-2t)-2t-3=48-8t-45+10t-2t-3=0$.
La droite $(d)$ est donc incluse dans chacun des deux plans.
$\quad$
Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les plans sont donc sécants selon la droite $(d)$.
$\quad$
3. 1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
   Une équation de $P_0$ est $-y-3=0$ soit $y=-3$.
   Cherchons l’ensemble des points de $(d)$ tels que $y=-3$.
   On résout l’équation $9-2t=-3 \Leftrightarrow 12=2t \Leftrightarrow t=6$.
   La droite $(d)$ et le plan $P_0$ ont donc le point $B(0;-3;6)$ comme intersection.
   $\quad$
   
   2. Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
   Regardons si les coordonnées de $B$ vérifient l’équation de $P_m$ pour tout $m$.
   $\dfrac{1}{4}m^2 \times 0 – 3(m-1)+\dfrac{6m}{2}-3 = -3m+3+3m-3=0$
   Donc $B$ appartient bien à $P_m$ pour tout réel $m$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
   Supposons qu’il existe un autre point $C$ commun à tous les plans $P_m$.
   La droite $(d)$ étant l’intersection des plans $P_1$ et $P_{-4}$ cela signifie que ce point $C$ appartient à $(d)$.
   Or la droite $(d)$ et le plan $P_0$ n’ont que le point $B$ en commun.
   Ainsi le point $B$ est l’unique point commun à tous les plans $P_m$.
   $\quad$
4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
   1. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
   On sait que :
   – Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
   – Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
   Or $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_{-4}} = 1 + 0-1 = 0$.
   Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.
   $\quad$
   
   2. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
   Un vecteur normal à $P_m$ est $\overrightarrow{n_m}\left(\dfrac{1}{4}m^2;m-1;\dfrac{m}{2}\right)$.
   b. Un vecteur normal à $P_{m’}$ est $\overrightarrow{n_{m’}}\left(\dfrac{1}{4}m’^2;m’-1;\dfrac{m’}{2}\right)$
   $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=0$
   Or $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=\dfrac{\left(mm’\right)^2}{16}+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4}$.
   Par conséquent, $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4} = 0$.
   $\quad$
   Une autre méthode consiste à résoudre le système de 2 équations à 3 inconnues formé par les équations des plans $P_1$ et $P_{-4}$
   En vidéo !
   3. On donne l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm}\\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}$$ Quel est le rôle de cet algorithme?
   Cet algorithme fournit tous les couples $\left(m;m’\right)$ d’entiers appartenant à $[-10;10]$ pour lesquels $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires.
   Remarque : Il fallait voir que la condition dans le test SI est équivalente à la condition vue en 4.b. (il suffit de diviser par $16$).
   $\quad$
   
   4. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
   Si un couple $\left(m;m’\right)$ convient alors le couple $\left(m’;m\right)$ convient également.
   Les six couples d’entiers sont donc $(-4;1)$, $(1;-4)$, $(0;1)$, $(1;0)$, $(5;-4)$ et $(-4;5)$.
   Ils apparaîtront dans l’ordre suivant : $(-4;1)$, $(-4;5)$, $(0;1)$, $(1;-4)$, $(1;0)$ et $(5;-4)$.
   $\quad$