Baccalauréat STI2D Antilles-Guyane - 19 juin 2019 - Correction Exercice 4
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Exercice 4 3 points
- Un atelier de mécanique de précision est équipé de machines à commande numérique permettant la production de pièces métalliques en aluminium. Un client passe une commande de pièces dont la longueur souhaitée est de 75 millimètres (mm). Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$.
Partie A
- Le réglage des machines permet de produire des pièces dont la longueur, exprimée en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu =75$ et d'écart-type $\sigma=0,03$. Afin de garantir au client une précision optimale, seules les pièces dont la longueur est comprise entre 74,95 mm et 75,05 mm sont jugées commercialisables.
- Déterminer $P(X > 74,97)$.
- Déterminer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit commercialisable.
2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$
$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$
$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$
Arrondie au centième près, la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit commercialisable est 0,9.
Partie B
On souhaite améliorer la précision de la production. Pour cela, les machines sont réglées et reprogrammées.
Après réglage, la longueur des pièces, en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale.
Son espérance est inchangée et vaut $\mu=75$.
La valeur de l'écart-type a été modifiée.
On note $\sigma'$ la nouvelle valeur de l'écart-type. Ces nouveaux réglages permettent de limiter la proportion de pièces non commercialisables.
On a $P\left(74,95 \leqslant Y \leqslant 75,05\right)\approx 0,95$
Déterminer $\sigma'$. Justifier.
La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu=75$ et d'écart-type $\sigma'$ donc $$P(75-1,96\times \sigma'\leq Y\leq 75+1,96\times \sigma')\approx 0,95.$$ On en déduit que : $1,96\times \sigma'\approx 0,05$ soit $\sigma'\approx \dfrac{0,05}{1,96}\approx 0,0255$ Une valeur approchée de la nouvelle valeur de l'écart-type est $\sigma'\approx 0,0255$.
Après réglage, la longueur des pièces, en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale.
Son espérance est inchangée et vaut $\mu=75$.
La valeur de l'écart-type a été modifiée.
On note $\sigma'$ la nouvelle valeur de l'écart-type. Ces nouveaux réglages permettent de limiter la proportion de pièces non commercialisables.
On a $P\left(74,95 \leqslant Y \leqslant 75,05\right)\approx 0,95$
Déterminer $\sigma'$. Justifier.
Partie C
On procède à de nouveaux réglages. Le responsable de l'atelier affirme alors être en mesure de commercialiser 97 % des pièces. On procède à un contrôle de qualité en prélevant au hasard 300 pièces métalliques. On constate que $14$ d'entre elles ne sont pas commercialisables. Au seuil de 95 %, faut-il mettre en doute l'affirmation du responsable de l'atelier ? Justifier la réponse.
On rappelle que lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par : \[\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right].\]
On rappelle que lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par : \[\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right].\]
La proportion $p$ est égale à $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à $\2.$
Comme $ n =\2$ , $n \times p $=\3 et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% $ est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$
La fréquence des pièces commercialisables est $f=\dfrac{286}{300}\approx 0,953$.
$\dfrac{286}{300}\in [0,951;0,99]$ donc on ne remet pas en cause l'affirmation du responsable de l'atelier.
Cependant, la fréquence des pièces commercialisables dans l'échantillon étant proche de la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation un deuxième contrôle de qualité serait judicieux.
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