Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie juin 2019

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Exercice 1 5 points

Suites

Température extérieure T En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C. La température extérieure est notée T . Dans tout l'exercice, on suppose que T < 20 . Température intérieure initiale 20 °C Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ désigne la température intérieure de la maison $n$ heures après la coupure du chauffage. Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure $T$ constante, on admet que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\] Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On suppose que la température extérieure $T$ est égale à 0° C. On a donc $T = 0$.

1. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Justifier.
5. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n < 5$.
   2. En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5° C.

 

Partie B

On suppose que la température extérieure $T$ est égale à $-15$° C. On a donc $T = - 15$.

1. Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par: \[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,15 \quad \text{et }\: u_0 = 20.\]
2. 1. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
   2. Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
3. On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à $5$° C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel $U$ désigne un nombre réel et $N$ un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|}\hline U \gets 20\\ N \gets 0\\ \text{Tant que} \ldots\\ \hspace{0.4cm} U \gets \ldots \\ \hspace{0.4cm} N \gets \ldots \\ \text{Fin Tant que} \\ \hline \end{array} $$
   1. Recopier et compléter l'algorithme.
   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'heures recherché.