Baccalauréat STI2D Antilles-Guyane - 19 juin 2019 - Exercice 4
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Exercice 4 3 points
- Un atelier de mécanique de précision est équipé de machines à commande numérique permettant la production de pièces métalliques en aluminium. Un client passe une commande de pièces dont la longueur souhaitée est de 75 millimètres (mm). Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$.
Partie A
- Le réglage des machines permet de produire des pièces dont la longueur, exprimée en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu =75$ et d'écart-type $\sigma=0,03$. Afin de garantir au client une précision optimale, seules les pièces dont la longueur est comprise entre 74,95 mm et 75,05 mm sont jugées commercialisables.
- Déterminer $P(X > 74,97)$.
- Déterminer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit commercialisable.
Partie B
On souhaite améliorer la précision de la production. Pour cela, les machines sont réglées et reprogrammées.
Après réglage, la longueur des pièces, en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale.
Son espérance est inchangée et vaut $\mu=75$.
La valeur de l'écart-type a été modifiée.
On note $\sigma'$ la nouvelle valeur de l'écart-type. Ces nouveaux réglages permettent de limiter la proportion de pièces non commercialisables.
On a $P\left(74,95 \leqslant Y \leqslant 75,05\right)\approx 0,95$
Déterminer $\sigma'$. Justifier.<
Partie C
- On procède à de nouveaux réglages. Le responsable de l'atelier affirme alors être en mesure de commercialiser 97 % des pièces. On procède à un contrôle de qualité en prélevant au hasard 300 pièces métalliques. On constate que $14$ d'entre elles ne sont pas commercialisables. Au seuil de 95 %, faut-il mettre en doute l'affirmation du responsable de l'atelier ? Justifier la réponse.
On rappelle que lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par : \[\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right].\]
Correction Exercice 4
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