Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie 21 juin 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Probabilités

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.
Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.

Partie A

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$. On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

1. 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   On répète 75 fois, de façon indépendante,l'expérience \og On choisit au hasard un ascenceur parmi les 75 du parc . \fg qui comporte 2 issues :
   « l'ascenseur du parc tombe en panne un jour donné » considéré comme succès, de probabilité $p=0,08$
   « l'ascenseur du parc ne tombe pas en panne un jour donné » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=0,92$
   Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=0,08$ notée $\mathscr{B}(75;0,08)$ .
   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 75$, on a $$P(X=k)=\binom{75}{k}\times \left(0,08\right)^k\times\left( 0,92\right)^{75-k}$$
   2. Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   À l'aide de la calculatrice, $P(X=5)=\binom{75}{5}\times \left(0,08\right)^5\times\left( 0,92\right)^{70}\approx 0,165$ .

   2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,165.
   3. Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   On calcule : $P(X\geq 5)=1-P(X <5)=1-P(X\leq 4)$.

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Ainsi $P(X\geq 5)\approx 1-0.274\approx 0.726$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,726.
   4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
   Comme $X$ suit une loi binomiale, son espérance mathématique est $E(X)=np=75\times 0.08=6$.
2. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$. On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$. En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
   1. entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   Avec la calculatrice, on trouve $P(5\leq Y\leq 10)\approx 0,621$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,621.
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,621.
   2. plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
   On calcule $P(Y>10)= \approx 0,044$

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité que plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,044.

Partie B

La fréquence des pannes est $f=\dfrac{263}{30\times 75}=\dfrac{263}{2250}\approx 0,117$.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $n =\2$ ,   $n \times p$=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\%$  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$  

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des pannes dans un échantillon de taille 2250 est $I=[0,0680,092]$. $0,117\notin [0,0680,092]$ donc l'entreprise remet en cause l'hypothèse selon laquelle la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est 0,08.