Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Probabilités

Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10$^{-4}$ près.

Partie A

Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 3\;000$ et d’écart type $\sigma = 750$.

1. Déterminer la probabilité $P(1\;500 \leqslant X \leqslant 4\;500)$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

On peut également remarquer que $1500= 3000-2\times 750= \mu-2\sigma$ et $4500= 3000+2\times 750= \mu+2\sigma$
On sait d'après le cours que $P(\mu -2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma)\approx 0,954$
2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de $2\;500$ euros.

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 & \\ \hline 3\; 970& \\\hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 &0,899\;7 \\ \hline 3\; 970&0,902\;1 \\\hline \end{array}$$
   
   2. Déterminer le montant minimal, à l’euro près, tel qu’au moins 90% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
   Grâce à la calculatrice on obtient $P(X\leq3962)\approx0,9002 $
   Ou on cherche le montant minimal $a$ tel que $P(X\leq a)=0,9$.

   2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
   Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

    

   3. L’industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal M, à l’euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?
   Le prix de vente maximal $M$, à l’euro près, qu’il peut envisager pour une porte du modèle « SECUR » est alors $3962\times 1,15 = 4556$ euros.

Partie B

L’industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de personnes favorables à l’achat du nouveau modèle. On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par : $$\left [f-1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}};f+1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ].$$
La fréquence des personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée de modèle « SECUR » est $$f=\dfrac{123}{984}=\dfrac{1}{8}=0,125=12,5\%$$

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

2. Pour que l’industriel prenne le risque d’investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu’au minimum 20% des personnes souhaitant s'équiper d’une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet?
Comme 20%= 0,2 n’est pas situé dans l’intervalle précédent, l’industriel n’a pas intérêt à réaliser son projet.