Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018

Exercice 1 QCM 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Le plan complexe est muni d’un repère $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A de coordonnées $\left(-4\sqrt 2 ; 4\sqrt 2\right )$.
   Une écriture exponentielle de l’affixe du point A est :
   1. $8\text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   2. $8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
   3. $4\sqrt 2 \text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   4. $4\sqrt 2 \text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
2. Sur le graphique ci-dessous, l’aire grisée est délimitée par la courbe d’équation $y = 2\text{e}^{-x}$ l'axe des abscisses et les droites d’équation $x = a$ et $x=2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2.
   
   L’aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d’aire lorsque a est égal à :
   1. -0,5
   2. 0
   3. 0,5
   4. 1,5
3. On considère l’équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb R$. On note $f$ l’unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=5$ .
   La valeur de $f(2)$ est :
   1. $2\text{e}^{-4}+3$
   2. $2\text{e}^{4}+3$
   3. $5\text{e}^{-4}+3$
   4. $5\text{e}^{4}+3$
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)= \ln(x)$.
   La primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par :
   1. $F(x)=x\ln x -2x+5$
   2. $F(x)=\dfrac{3}{x}$
   3. $F(x)=x\ln x +3$
   4. $F(x)=x\ln x - x+4$

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Probabilités

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Le plan complexe est muni d’un repère $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A de coordonnées $\left(-4\sqrt 2 ; 4\sqrt 2\right )$.
   Une écriture exponentielle de l’affixe du point A est :
   1. $8\text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   2. $8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
   3. $4\sqrt 2 \text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   4. $4\sqrt 2 \text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
Notons $z_A$ l'affixe du point $A$, on a $z_A= -4\sqrt 2+i 4\sqrt 2$ $$\begin{array}{cc} \text{\ Module} & \text{ Argument} \\ \begin{array}{rl|rl} |z_A |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ \left (-4\sqrt 2\right )^2+\left (4\sqrt 2\right )^2}\\ &=\sqrt {16\times 2+16\times 2}\\ &= \sqrt{64}\\ &=8 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{-4\sqrt 2}{8}=-\frac{\sqrt 2}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{4\sqrt 2}{8}=\frac{\sqrt 2}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{3\pi}{4} \text{ convient } \end{array}$$ $$z_A= -4\sqrt 2+i 4\sqrt 2= 8\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} \right) +i\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right) \right) =8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}} $$ La bonne réponse est b.
2. Sur le graphique ci-dessous, l’aire grisée est délimitée par la courbe d’équation $y = 2\text{e}^{-x}$ l'axe des abscisses et les droites d’équation $x = a$ et $x=2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2.
   
   L’aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d’aire lorsque a est égal à :
   1. -0,5
   2. 0
   3. 0,5
   4. 1,5
Comme la fonction $x\mapsto 2\text{e}^{-x}$ est continue et positive sur $[a;2]$, l'aire grisée vaut : $$\begin{array}{rl} \mathcal{A}&=\displaystyle\int_a^2 2\text{e}^{-x}\; \text{d} x \\ &=\left [-2\text{e}^{-x}\right ] _a^2\\ &=-2\text{e}^{-2}-\left (-2\text{e}^{-a}\right )\\ &=2\text{e}^{-a}-2\text{e}^{-2} \end{array}$$ On complète alors le tableau de valeurs de la fonction aire $\mathcal{A}:a\mapsto 2\text{e}^{-a}-2\text{e}^{-2}$ On obtient avec une calculatrice $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & \mathcal{A}(a)\\ \hline -0,5 & 3,03 \\ \hline 0 & 1,73 \\ \hline 0,5& 0,94 \\\hline 1,5& 0,18\\\hline\end{array}$$ La bonne réponse est c.
Avec la calculatrice :

3. On considère l’équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb R$. On note $f$ l’unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=5$ .
   La valeur de $f(2)$ est :
   1. $2\text{e}^{-4}+3$
   2. $2\text{e}^{4}+3$
   3. $5\text{e}^{-4}+3$
   4. $5\text{e}^{4}+3$
On met l'équation sous forme résolue : $y' =-2y+6$.
Cette équation différentielle est du type $y'=ay+b$ où $a=-2$ et $b=6$.
La solution générale est $y=-\dfrac{b }{a}+K\text{e}^{ax}$, soit ici $y= 3+K\text{e}^{-2x}$
$$\begin{array}{rl} f(0)=5& \iff 3+K\text{e}^{0} =5\\ & \iff 3+K=5\\ &\iff K=2 \end{array}$$ On déduit ainsi $f(x) =3+2\text{e}^{-2x}$, puis $f(2)=3+2\text{e}^{-4}$
La bonne réponse est  a.
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)= \ln(x)$.
   La primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par :
   1. $F(x)=x\ln x -2x+5$
   2. $F(x)=\dfrac{3}{x}$
   3. $F(x)=x\ln x +3$
   4. $F(x)=x\ln x - x+4$
Calculons la dérivée de $F:x\mapsto x\ln x - x+4$.
$F(x)=x\ln x - x+4$, on a donc $F=uv+w$, donc $F'=u'v+v'u +w'$. $$\begin{array}{rl} F'(x)& =1\times \ln x+\dfrac{1}{x}\times x-1\\ & =\ln x +1-1\\ &=\ln x \\ &=f(x) \end{array}$$ Comme $F'(x)=f(x)$, on déduit que $F$ est une primitive de $f$; il reste à vérifier que $F(1)=3$.
Or $F(1)= 1\times \ln 1-1+4=-1+4=3$.
La bonne réponse est d.

Exercice 2 5 points

Suites

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.

Partie A

1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d’une semaine?
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justifier.
3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.

Partie B

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
On note $u_0$ le volume initial d’eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.

1. Vérifier que $u_2 = 278,812$.
2. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,98 u_n + 5$.
3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \ldots\\ \hspace{0.5cm} U\gets \ldots \\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable U contienne $u_6$.
   2. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10$^{-2}$ près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n -250$. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
   1. Calculer $v_0$.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_n = 30 \times 0,98^n + 250$.
   4. Justifier que la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

Suites

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.

Partie A

1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d’une semaine?
Le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout d’une semaine est : \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $$\begin{array}{rl} V&=280-\frac{2}{100}\times 280 \\ & =0,98\times 280\\ &=274,4 \end{array}$$ Au bout d'une semaine il restera 274,4 litres d'au dans l'aquarium.
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés? Justifier.
C'est faux ! Au bout de deux semaines, il restera $0,98^2\times 280$. Il se sera échappé $$1-0,98^2=0,0396.$$ Au bout de deux semaines, exactement 3,96% du volume d’eau initial se seront évaporés.
3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.
Notons $V_n$ le volume d'eau restant dans l'aquarium au bout de $n$ semaines.
On cherche le plus petit entier $n$ vérifiant : $V_n < 240$.
Comme on passe de $V_n$ à $V_{n+1}$ en multipliant par 0,98; la suite $\left ( V_n\right)$ est géométrique de raison 0,98.
Ainsi $V_n=q^n\times V_0=280\times 0,98^n$. $$\begin{array}{rll} V_n <240& \iff 280\times 0,98^n < 240&\\ & \iff 0,98^n <\frac{240}{280}&\\ &\iff 0,98^n < \frac{6}{7}&\\ &\iff \ln\left (0,98^n\right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \ln \text{est strictement croissante sur } ]0;+\infty[\\ &\iff n\ln\left (0,98 \right ) <\ln \left ( \frac{6}{7}\right )& \text{ car } \ln\left (a^n \right )=n\ln a\\ &\iff n> \dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}&\text{ car } 0,98 <1 \text{ donc } \ln\left (0,98 \right ) <0\\ \end{array}$$ Grâce à une calculatrice, on obtient $\dfrac{\ln \left ( \frac{6}{7}\right )}{\ln\left (0,98 \right )}\approx 7,63$.
Le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant au bout de 8 semaines.

Partie B

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
On note $u_0$ le volume initial d’eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.

1. Vérifier que $u_2 = 278,812$.
   • $u_1= 0,98\times u_0+5=0,98\times 280+5 = 279,4$
   • $u_2= 0,98\times u_1+5=0,98\times 279,4+5 =278,812$
2. Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,98 u_n + 5$.
Comme $u_n$ est le volume d’eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau, on a après évaporation de 2 % sur une semaine, il y aura $(1-0,02)u_n=0,98u_n$.
Puis on rajoute 5 litres d'eau, il y aura donc en litres, $n+1$ semaines après son installation: $0,98u_n+5$
D'où le résultat: $u_{n+1} = 0,98 u_n + 5.$
3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
Si $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$ alors $q=\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1}$
Mais $$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{u_2}{u_1} \iff u_1^2=u_0\times u_2$$ Or $u_1^2=78\;064,36$ et $u_0\times u_2=78\;067,36$.
On a donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$, donc la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \ldots\\ \hspace{0.5cm} U\gets \ldots \\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’à la fin de son exécution, la variable U contienne $u_6$.
   $$\begin{array}{| l |} \hline\\ U\gets 280 \\ \text{Pour } k \text{ allant de 1 à } \color{red}{6}\\ \hspace{0.5cm} U\gets \color{red}{0,98\times U+5 }\\ \text{Fin pour }\\ \hline \end{array}$$
   2. Quel est le volume d’eau dans l’aquarium, en litres à 10$^{-2}$ près, 6 semaines après son installation immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
   Plusieurs méthodes sont possibles :
   On saisit l'algorithme ci-dessus sur une calculatrice
   On obtient $v_6\approx 276,58$
   On peut également utiliser le mode suite de la calculatrice :
   
5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n -250$. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
   1. Calculer $v_0$.
   $v_0=u_0-250=280-250=30$
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   Comme $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison 0,98, on a pour tout entier $n$: $$v_n= q^n \times v_0= 30 \times 0,98^n$$
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n, u_n = 30 \times 0,98^n + 250$.
   Ayant $v_n = u_n -250$, on déduit $$u_n = v_n +250=30 \times 0,98^n + 250$$
   4. Justifier que la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.
   Pour tout entier $n$, on a : $0,98^n>0$, donc $30\times 0,98^n >0$, puis $30\times 0,98^n +250>250$.
   Donc pour tout entier $n$, on a $u_n>250$, l'aquaruim contient donc toujours plus de 250 litres. Donc la préconisation concernant le volume d’eau dans l'aquarium est respectée.



Exercice 3 6 points


Fonctions

Le niveau sonore $N$ d’un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation $$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)$$ où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).

Partie A

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Calculer le niveau sonore $N$ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à 2,6 Watts. On arrondira le résultat à l’unité.
2. On donne $N = 84$ dB et $D = 10$ m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.

Partie B

Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d’aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à 0,026 Watts.

1. 1. Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : $$N= 120 + 4\ln(0,002)-4\ln(D^2)$$
   2. Montrer qu’une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln(D)$.
      Dans la suite de l’exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$ par : $$f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$$
2. 1. Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   2. Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1 ; 20]$.
   3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
3. On suppose qu’un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l’oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu’un risque apparaît. Justifier, à l’aide du tableau ci-dessous, que l’ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels} \\ \hline \text{Aucun}& [0;85[\\ \hline \text{ Risque faible } &[85; 90[ \\ \hline \text{ Risque élevé } & [90; 120[\\ \hline \end{array}$$
4. Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé ( c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à 90 dB).

Partie C

On s’intéresse au lien entre la puissance $P$ d’un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.

On admet que pour une puissance de 0,02 Watt, le niveau sonore du bruit est de 74,9 décibels à une distance de 11 mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées (0,02; 11) appartient à la courbe $\mathcal{C}_N=74,9$.

1. Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06 W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre 85 et 90 dB.
2. Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.

 




Correction de l'exercice 3 (6 points)


Fonctions

Le niveau sonore $N$ d’un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation $$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)$$ où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).

Partie A

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Calculer le niveau sonore $N$ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à 2,6 Watts. On arrondira le résultat à l’unité.
$$ N =120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)=120+4\ln\left(\dfrac{2,6}{13\times 10^2}\right)=120+4\ln\left( 2\times 10^{-3}\right)\approx 95\text{dB}$$ Le niveau sonore $N $ d’un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P $ est égale à 2,6 Watts est envron de 95 dB.
2. On donne $N = 84$ dB et $D = 10$ m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
On cherche $P$ tel que $N=84$ et $D=10$ $$\begin{array}{rl} N=84&\iff 120+4\ln\left(\dfrac{P}{13\times 10^2}\right)= 84\\ & \iff 4 \ln\left(\dfrac{P}{1300}\right)= -36 \\ &\iff \ln\left(\dfrac{P}{1300}\right)= -9\\ &\iff \dfrac{P}{1300}=\text{e}^{-9}\\ &\iff P=1300\text{e}^{-9} \end{array}$$ $P=1300\text{e}^{-9}\approx 0,16W$

Partie B

Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d’aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à 0,026 Watts.

1. 1. Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : $$N= 120 + 4\ln(0,002)-4\ln(D^2)$$
   $$\begin{array}{rl} N&= 120+4\ln\left(\dfrac{P}{13D^2}\right)\\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,026}{13D^2}\right) \\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,002\times 13}{13D^2}\right) \\ &=120+4\ln\left(\dfrac{0,002 }{ D^2} \right) \\ &=120+4\ln\left( 0,02\right)-4\ln\left( D^2)\right) \\ \end{array}$$
   2. Montrer qu’une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln(D)$.
      Dans la suite de l’exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$ par : $$f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$$
   Il suffit de remarquer que $120+4\ln\left( 0,02\right)\approx 95,14$.
   Ainsi $$=120+4\ln\left( 0,02\right)-4\ln\left( D^2)\right)\approx 95,14 - 8\ln(D)$$ en utilisant $\ln\left( D^2)\right)=2\ln D$
2. 1. Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   Comme $f(x) = 95,14 - 8 \ln(x)$, on déduit $f'(x)= -8\times \dfrac{1 }{ x}= -\dfrac{8 }{ x}$
   2. Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1 ; 20]$.
   On étudie le signe de la dérivée : ici $x>0$ et $-8 < 0$ , donc $-\dfrac{8 }{ x} < 0$
   
   3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
   La dérivée étant strictement négative sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$, on conclut que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0,1 ; 20]$.
3. On suppose qu’un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l’oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu’un risque apparaît. Justifier, à l’aide du tableau ci-dessous, que l’ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels} \\ \hline \text{Aucun}& [0;85[\\ \hline \text{ Risque faible } &[85; 90[ \\ \hline \text{ Risque élevé } & [90; 120[\\ \hline \end{array}$$
On calcule $f(3)\approx 86,35$ dB.
A 3 mètres de la. machine, le niveau sonore est dans l'intervalle de risque faible et donc l'ouvrier devra porter des protections individuelles contre le bruit.
4. Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé ( c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à 90 dB).
On résout l'inéquation $f(x)< 90$. $$\begin{array}{rl} f(x)<90& \iff 95,14 - 8 \ln(x) <90\\ &\iff -8 \ln x < -5,14\\ &\iff \ln x >\dfrac{ 5,14}{8}\\ &\iff x>\text{e}^{ \frac{ 5,14}{8}} \end{array}$$ Comme $\text{e}^{ \frac{ 5,14}{8}}\approx 1,901$ Une distance de la machine d’au moins 1,91 m permet à un ouvrier de l’entreprise sortir de la zone de risque élevé.

Partie C

On s’intéresse au lien entre la puissance $P$ d’un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.

On admet que pour une puissance de 0,02 Watt, le niveau sonore du bruit est de 74,9 décibels à une distance de 11 mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées (0,02; 11) appartient à la courbe $\mathcal{C}_N=74,9$.

1. Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06 W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre 85 et 90 dB.
Pour un bruit de puissance $P$ égale à 0,06W, on lit (trait vertical en 0,06) une distance minimale de 3m et maximale de 5,4m de la source que peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N $soit compris entre 85 et 90 dB.
2. Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.
Pour une source sonore située à une distance $D$ de 8 m, on lit (trait horizontal en 8) une puissance minimale de 0,011W et maximale de 0,036W de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.

 




Exercice 4 4 points


Probabilités

Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10$^{-4}$ près.

Partie A

Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 3\;000$ et d’écart type $\sigma = 750$.

1. Déterminer la probabilité $P(1\;500 \leqslant X \leqslant 4\;500)$.
2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de $2\;500$ euros.
3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 & \\ \hline 3\; 970& \\\hline \end{array}$$
   2. Déterminer le montant minimal, à l’euro près, tel qu’au moins 90% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
   3. L’industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal M, à l’euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?

Partie B

L’industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de personnes favorables à l’achat du nouveau modèle. On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par : $$\left [f-1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}};f+1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ].$$
2. Pour que l’industriel prenne le risque d’investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu’au minimum 20% des personnes souhaitant s'équiper d’une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet?



Exercice 4 4 points


Probabilités

Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10$^{-4}$ près.

Partie A

Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 3\;000$ et d’écart type $\sigma = 750$.

1. Déterminer la probabilité $P(1\;500 \leqslant X \leqslant 4\;500)$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

On peut également remarquer que $1500= 3000-2\times 750= \mu-2\sigma$ et $4500= 3000+2\times 750= \mu+2\sigma$
On sait d'après le cours que $P(\mu -2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma)\approx 0,954$
2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de $2\;500$ euros.

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 & \\ \hline 3\; 970& \\\hline \end{array}$$
   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 &0,899\;7 \\ \hline 3\; 970&0,902\;1 \\\hline \end{array}$$
   
   2. Déterminer le montant minimal, à l’euro près, tel qu’au moins 90% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
   Grâce à la calculatrice on obtient $P(X\leq3962)\approx0,9002 $
   Ou on cherche le montant minimal $a$ tel que $P(X\leq a)=0,9$.

   2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
   Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

    

   3. L’industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal M, à l’euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?
   Le prix de vente maximal $M$, à l’euro près, qu’il peut envisager pour une porte du modèle « SECUR » est alors $3962\times 1,15 = 4556$ euros.

Partie B

L’industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de personnes favorables à l’achat du nouveau modèle. On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par : $$\left [f-1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}};f+1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ].$$
La fréquence des personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée de modèle « SECUR » est $$f=\dfrac{123}{984}=\dfrac{1}{8}=0,125=12,5\%$$

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

2. Pour que l’industriel prenne le risque d’investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu’au minimum 20% des personnes souhaitant s'équiper d’une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet?
Comme 20%= 0,2 n’est pas situé dans l’intervalle précédent, l’industriel n’a pas intérêt à réaliser son projet.