Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Probabilités

Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes « SECUR ». Équipées d’un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. Les résultats seront arrondis à 10$^{-4}$ près.

Partie A

Avant de débuter son projet, l’industriel s’intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 3\;000$ et d’écart type $\sigma = 750$.

1. Déterminer la probabilité $P(1\;500 \leqslant X \leqslant 4\;500)$.
2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de $2\;500$ euros.
3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel. $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X\leqslant a)\\ \hline 3\; 950 & 0,897\;4\\ \hline 3\; 960 & \\ \hline 3\; 970& \\\hline \end{array}$$
   2. Déterminer le montant minimal, à l’euro près, tel qu’au moins 90% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
   3. L’industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15% le montant minimal précédent. Quel prix de vente maximal M, à l’euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?

Partie B

L’industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l’achat d’une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de personnes favorables à l’achat du nouveau modèle. On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par : $$\left [f-1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}};f+1,96\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ].$$
2. Pour que l’industriel prenne le risque d’investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu’au minimum 20% des personnes souhaitant s'équiper d’une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. A-t-il intérêt à réaliser son projet?