Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 19 juin 2018 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Probabilités

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Le plan complexe est muni d’un repère $\left(\text{O}~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A de coordonnées $\left(-4\sqrt 2 ; 4\sqrt 2\right )$.
   Une écriture exponentielle de l’affixe du point A est :
   1. $8\text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   2. $8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
   3. $4\sqrt 2 \text{e}^{-i\frac{3\pi}{4}}$
   4. $4\sqrt 2 \text{e}^{i\frac{3\pi}{4}}$
Notons $z_A$ l'affixe du point $A$, on a $z_A= -4\sqrt 2+i 4\sqrt 2$ $$\begin{array}{cc} \text{\ Module} & \text{ Argument} \\ \begin{array}{rl|rl} |z_A |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ \left (-4\sqrt 2\right )^2+\left (4\sqrt 2\right )^2}\\ &=\sqrt {16\times 2+16\times 2}\\ &= \sqrt{64}\\ &=8 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{-4\sqrt 2}{8}=-\frac{\sqrt 2}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{4\sqrt 2}{8}=\frac{\sqrt 2}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{3\pi}{4} \text{ convient } \end{array}$$ $$z_A= -4\sqrt 2+i 4\sqrt 2= 8\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} \right) +i\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right) \right) =8\text{e}^{i\frac{3\pi}{4}} $$ La bonne réponse est b.
2. Sur le graphique ci-dessous, l’aire grisée est délimitée par la courbe d’équation $y = 2\text{e}^{-x}$ l'axe des abscisses et les droites d’équation $x = a$ et $x=2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2.
   
   L’aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d’aire lorsque a est égal à :
   1. -0,5
   2. 0
   3. 0,5
   4. 1,5
Comme la fonction $x\mapsto 2\text{e}^{-x}$ est continue et positive sur $[a;2]$, l'aire grisée vaut : $$\begin{array}{rl} \mathcal{A}&=\displaystyle\int_a^2 2\text{e}^{-x}\; \text{d} x \\ &=\left [-2\text{e}^{-x}\right ] _a^2\\ &=-2\text{e}^{-2}-\left (-2\text{e}^{-a}\right )\\ &=2\text{e}^{-a}-2\text{e}^{-2} \end{array}$$ On complète alors le tableau de valeurs de la fonction aire $\mathcal{A}:a\mapsto 2\text{e}^{-a}-2\text{e}^{-2}$ On obtient avec une calculatrice $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & \mathcal{A}(a)\\ \hline -0,5 & 3,03 \\ \hline 0 & 1,73 \\ \hline 0,5& 0,94 \\\hline 1,5& 0,18\\\hline\end{array}$$ La bonne réponse est c.
Avec la calculatrice :

3. On considère l’équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb R$. On note $f$ l’unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=5$ .
   La valeur de $f(2)$ est :
   1. $2\text{e}^{-4}+3$
   2. $2\text{e}^{4}+3$
   3. $5\text{e}^{-4}+3$
   4. $5\text{e}^{4}+3$
On met l'équation sous forme résolue : $y' =-2y+6$.
Cette équation différentielle est du type $y'=ay+b$ où $a=-2$ et $b=6$.
La solution générale est $y=-\dfrac{b }{a}+K\text{e}^{ax}$, soit ici $y= 3+K\text{e}^{-2x}$
$$\begin{array}{rl} f(0)=5& \iff 3+K\text{e}^{0} =5\\ & \iff 3+K=5\\ &\iff K=2 \end{array}$$ On déduit ainsi $f(x) =3+2\text{e}^{-2x}$, puis $f(2)=3+2\text{e}^{-4}$
La bonne réponse est  a.
4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)= \ln(x)$.
   La primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par :
   1. $F(x)=x\ln x -2x+5$
   2. $F(x)=\dfrac{3}{x}$
   3. $F(x)=x\ln x +3$
   4. $F(x)=x\ln x - x+4$
Calculons la dérivée de $F:x\mapsto x\ln x - x+4$.
$F(x)=x\ln x - x+4$, on a donc $F=uv+w$, donc $F'=u'v+v'u +w'$. $$\begin{array}{rl} F'(x)& =1\times \ln x+\dfrac{1}{x}\times x-1\\ & =\ln x +1-1\\ &=\ln x \\ &=f(x) \end{array}$$ Comme $F'(x)=f(x)$, on déduit que $F$ est une primitive de $f$; il reste à vérifier que $F(1)=3$.
Or $F(1)= 1\times \ln 1-1+4=-1+4=3$.
La bonne réponse est d.