Bac STI2D Métropole 18 juin 2015 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Equations différentielles et fonction exponentielle

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts ($mW$), s'atténue au cours de la propagation. On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres ($km$), la relation liant $P_E$ , $P_S$ et $L$ est donnée par : $P_S = P_E\times e^{-aL}$ où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

• la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $7~ mW$ ;
• à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $0,08~ mW$;
• pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $0,08~ mW$.

 

Partie A

Le premier type de fibre de longueur 100 $km$ utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$. Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.

1. Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.
2. 1. Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
   2. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
3. 1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$
   2. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
4. 1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 $km$ de propagation?
   2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.