Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 11 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 4 points

Suites

 

Partie A

Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des conditions particulières. On suppose que cette capacité de doublement ne dépend pas du nombre initial de bactéries. Lors d’une expérience, Camille décide d’ajouter, chaque heure, un millier de bactéries du même type.
Elle écrit l’algorithme ci-contre : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{ Saisir } N \\ H \text{ prend la valeur } 0\\ V \text{ prend la valeur } N\\ \text{ Tant que } V < 10^5 \\ \hspace{1.6em} H \text{ prend la valeur } H+1 \\ \hspace{1.6em} V \text{ prend la valeur } 2*V+ 1000 \\ \text{Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } H \\\hline \end{array}$$

1. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour $N =10000$ ?
On note $V_n$ le nombre de bactéries à la $nieme $  heure, $n$ étant un entier naturel. On admet que $V_0 = 10000 $.
1. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ .
2. La suite $( V_n )$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.

 

Partie B

Camille recommence l’expérience avec 10000 bactéries, dans des conditions différentes et sans ajouter de bactéries à chaque heure. Elle constate que :

• tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à 40000 , le nombre double toutes les heures ;
• à partir de 40000 bactéries, le nombre augmente seulement de 50% toutes les heures.

1. Modifier l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles conditions.
2. Dans ces conditions, au bout de combien d’heures, le nombre de bactéries dépassera-t-il la valeur de $10^5$ ?