Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $r$ l'ensemble des matrices colonnes à 2 lignes, à coefficients entiers. Soit $U = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$.
À $U$ et $V$, on associe la matrice $A = \begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A) = u_1 v_2 - u_2v_1$.
On dit que $(U,~V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d'entiers relatifs $(a~;~b)$ tel que $X = aU + bV$.

1. Dans cette question, on pose $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, \:$V = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$
   1. Montrer que $X$ ne peut pas s'écrire $X = a U + b V$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
   2. Le couple $(U,~ V)$ est-il une base de $r$ ?

Dans la suite de l'exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété : « si $d(A) = 1$, alors $(U, V)$ est une base de $r$ » .

1. En posant $U = \begin{pmatrix}6\\- 11\end{pmatrix}$ le but de cette question est de déterminer $V \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ tel que $d(A) = 1$. On rappelle dans ce cas que la matrice $A$ associée au couple $(U,~ V)$ s'écrit : $A = \begin{pmatrix}6&v_1\\- 11&v_2\end{pmatrix}$.
   1. Exprimer la condition $d(A) = 1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$.
   2. On considère l'équation $(E) :\: 11 x + 6 y = l$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Donner une solution particulière de l'équation $(E)$.
   3. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des entiers relatifs.
   4. Déterminer alors une matrice $V \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d'une part l'égalité $d(A) = 1$ et, d' autre part, la condition $0 \leqslant v_1 \leqslant 10$.
2. Dans cette question, on pose $U = \begin{pmatrix}6\\- 11\end{pmatrix}$ et $V = \begin{pmatrix}5\\- 9\end{pmatrix}$. Ainsi $A = \begin{pmatrix}6&5\\- 11&-9\end{pmatrix}$.
   1. Montrer que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
   2. Soit $X$ un élément de $r$. Montrer que l'égalité $X = aU + b V$ s'écrit matriciellement $X = A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
   3. Déduire des questions précédentes qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(a~;~b)$ tel que $X = aU +bV$, c'est-à-dire tel que $(U,~ V)$ est une base de $r$.
   4. Déterminer ce couple $(a~;~b)$ lorsque $X = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.