Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Exercice 3

Page 6 sur 10: Correction Exercice 3

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Probabilités et Fonctions

Les parties A, B et C sont indépendantes. Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au millième.

Partie A

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années. En 2017, le pays comptait 52$\:\%$ de femmes. Cette même année, 92$\:\%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, 55$\:\%$ étaient des femmes. On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :

• $F$ l'évènement « la personne choisie est une femme » ;
• $H$ l'évènement « la personne choisie est un homme» ;
• $B$ l'évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio » .

1. Traduire les données numériques de l'énoncé à l'aide des évènements $F$ et $B$.
On a $P(F)=0,52$, $P(B)=0,92$ et $P_B(F)=0,55$.
$\quad$
2. 1. Montrer que $P(F \cap B) = 0,506$.
   On a :
   $\begin{align*}P(F\cap B)&=P_B(F)\times P(B)\\
   &=0,55\times 0,92\\
   &=0,506\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire la probabilité qu'une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c'est une femme.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_F(B)&=\dfrac{P(F\cap B)}{P(F)} \\
   &=\dfrac{0,506}{0,52} \\
   &\approx 0,973\end{align*}$
   La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
   $\quad$
3. Calculer $P_H\left(\overline{B}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On a : $P\left(\overline{B}\right)=1-P(B)=0,08$.
De plus $P_F(B)=0,973$ donc $P_F\left(\overline{B}\right)=0,027$
Par conséquent $P\left(F\cap \overline{B}\right)=0,027\times 0,52=0,014~04$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} & P\left(\overline{B}\right)=P\left(H\cap \overline{B}\right)+P\left(F\cap \overline{B}\right) \\
\iff & 0,08=P\left(H\cap \overline{B}\right)+0,014~04\\
\iff & P\left(H\cap \overline{B}\right)=0,065~96\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_H\left(\overline{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \overline{B}\right)}{P(H)} \\
&=\dfrac{0,065~96}{1-0,52}\\
&\approx 0,137\end{align*}$
La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0,137$.
$\quad$

Partie B

On a $n=2~000$ et $p=0,75$.
Par conséquent $n\geq 30$, $np=1~500\geq 5$ et $n(1-p)=500\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de personne consommant des produits bio au moins une fois par mois est :

$\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,75-1,96\sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{2~000}};0,75+1,96\sqrt{\dfrac{0,75\times 0,25}{2~000}}\right]\\
&\approx [0,731;0,769]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{1~421}{2~000}=0,710~5\notin I_{2~000}$.

Au risque d’erreur de $5\%$ on peut dire que l’affirmation du chef de rayon est fausse.
$\quad$

Partie C

Pour promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d'un magasin décide d'organiser un jeu qui consiste, pour un client, à remplir un panier avec une certaine masse d'abricots issus de l'agriculture biologique. Il est annoncé que le client gagne le contenu du panier si la masse d'abricots déposés est comprise entre $3,2$ et $3,5$ kilogrammes. La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi de probabilité de densité $f$ définie sur l'intervalle [3 ; 4] par : \[f(x) = \dfrac{2}{(x - 2)^2}.\] Rappel : on appelle fonction de densité d'une loi de probabilité sur l'intervalle $[a~;~b]$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $[a~;~b]$, telle que l'intégrale de $f$ sur $[a~;~b]$ est égale à 1.

1. Vérifier que la fonction $f$ précédemment définie est bien une fonction de densité d'une loi de probabilité sur l'intervalle $[3~;~4]$.
La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[3;4]$. Elle est également continue sur cet intervalle en tant que quotient de fonctions continues sur $[3;4]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
La fonction carré est positive sur $\mathbb R$. Par conséquent, pour tout réel $x\in[2;3]$ on a $f(x)\geq 0$.
$\begin{align*} I&=\displaystyle \int_3^4 f(x)\text{d} x \\
&=2\left[-\dfrac{1}{x-2}\right]_3^4\\
&=2\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)\\
&=1\end{align*}$
La fonction $f$ est une fonction de densité d’une loi de probabilité sut l’intervalle $[3;4]$.
$\quad$
2. Le magasin annonce : « Un client sur trois gagne le panier ! » . Cette annonce est-elle exacte ?
On a :
$\begin{align*} P(3,2\leq X\leq 3,5)&=\displaystyle \int_{3,2}^{3,5}f(x)\text{d} x \\
&=2\left[-\dfrac{1}{x-2}\right]_{3,2}^{3,5}\\
&=2\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
L’annonce est donc exacte.
$\quad$
3. Cette question a pour but de calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. On rappelle que, pour une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$,\: E($X$) est donnée par : $$E (X) = \displaystyle\int_a^b x f(x)\:\text{d}x.$$
   1. Vérifier que la fonction $G$, définie sur l'intervalle $[3~;~4]$ par $G(x) = \ln (x - 2) - \dfrac{x}{x - 2}$, est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{x}{(x - 2)^2}$ sur cet intervalle.
   La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;4]$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;4]$ on a :
   $\begin{align*} G'(x)&=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1\times (x-2)-x\times 1}{(x-2)^2}\\
   &=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{(x-2)^2} \\
   &=\dfrac{x-2+2}{(x-2)^2}\\
   &=\dfrac{x}{(x-2)^2}\\
   &=g(x)\end{align*}$
   La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;4]$.
   $\quad$
   
   2. En déduire la valeur exacte de E($X$), puis sa valeur arrondie au centième. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   Ainsi :
   $\begin{align*} E(X)&=\int_3^4xf(x)\text{d} x \\
   &=2\int_3^4g(x)\text{d} x \\
   &=2\left(G(4)-G(3)\right)\\
   &=2\left(\ln(2)-2-\left(\ln(1)-3\right)\right)\\
   &=2\left(\ln(2)+1\right)\\
   &\approx 3,39\end{align*}$
   En moyenne le contenu du panier déposé par les clients a une masse d’abricots environ égale à $3,39$ kg.
   $\quad$