Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Correction Exercice 2
Page 4 sur 10
Correction de l'exercice 2 (4 points)
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l'affirmation exacte, $0$ sinon.
Dans tout l'exercice, on se place dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ de l'espace.
Les quatre questions sont indépendantes.
Aucune justification n'est demandée.
- On considère le plan P d' équation cartésienne $3x + 2 y + 9 z - 5 = 0$ et la droite $d$ dont une représentation paramétrique est: $\left\{\begin{array}{l c l} x &= &4t+3\\ y& =& - t + 2 \\z&=& -t+9 \end{array}\right. , t \in \mathbb R$.
- l'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(3~;~2~;~9)$.
- le plan $P$ et la droite $d$ sont orthogonaux.
- le plan $P$ et la droite $d$ sont parallèles.
- l'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est réduite au point de coordonnées $(-353~;~91~;~98)$.
-
On constate que les coordonnées fournies dans l’affirmation A ne vérifie par l’équation cartésienne du plan P .
Les vecteur $\vec{n}(3;2;9)$, normal au plan $p$, et $\vec{u}(4;-1;-1)$, vecteur directeur de la droite $d$, ne sont ni orthogonaux (produit scalaire non nul) ni colinéaires. Les affirmations B et C sont donc fausse.
$3\times (-353)+2\times 91+9\times 98-5=0$. Le point $A(-353;91;98)$ appartient au plan $p$.
En prenant $t=-89$ (il suffit de résoudre l’équation $-t+9=98$) on constate que le point $A$ appartient également à la droite $d$. Affirmation d vraie - On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K définis par les égalités vectorielles :
$\vec{AI}=\dfrac{3}{4}\vec{AB}$, $\vec{DJ}=\dfrac{1}{4}\vec{DC}$ et $\vec{HK}=\dfrac{3}{4}\vec{HG}$
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un triangle.
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un quadrilatère.
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un pentagone.
- la section du cube ABCDEFGH par le plan (UK) est un hexagone.
On obtient la figure suivante : - On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t + 2\\y &=& 2\\z&=&5t - 6 \end{array}\right.$ , avec $t \in \mathbb R$, et le point A$( - 2~;~1~;~0)$. Soit $M$ un point variable de la droite $d$.
- la plus petite longueur A$M$ est égale à $\sqrt{53}$ .
- la plus petite longueur A$M$ est égale à $\sqrt{27}$.
- la plus petite longueur A$M$ est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées $(-2~;~1~;~0)$.
- la plus petite longueur A$M$ est atteinte lorsque le point $M$ a pour coordonnées $(2~;~2~;~-6)$.
On a : - On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ et le plan $P'$ d'équation cartésienne $2x - y + 2 = 0$.
- les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.
- l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par les points A$(5~;~12~;~10)$ et B $(3~;~1~;~2)$.
- l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par le point C$(2~;~6~;~5)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(1~;~2~;~2)$.
- l'intersection des plans $P$ et $P'$ est une droite passant par le point D$(-1~;~0~;~0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{v}(3~;~6~;~5)$.
-
$\vec{n}(1;2;-3)$ est un vecteur normal au plan $p$ et $\vec{n’}(2;-1;0)$ est un vecteur normal au plan P.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Affirmation a fausse.
Le point $B$ ne vérifie pas l’équation cartésienne du plan $p’$. Affirmation b fausse.
$\vec{n}.\vec{u}=-1\neq 0$. Aucune droite de vecteur directeur $\vec{u}$ n’est incluse dans le plan P.
$\vec{n}.\vec{u}=0$ et $\vec{n’}.\vec{u}=0$. De plus les coordonnées du point $D$ vérifient les deux équations cartésiennes. Affirmation d vraie
$\quad$
![cubesol](/images/1.TS/Annee_2018-2019/Annales_2019/Asie/cubesol.png)
Affirmation c vraie
$\quad$
$\begin{align*} AM^2&=(t+2+2)^2+(2-1)^2+(5t-6)^2 \\
&=(t+4)^2+1+(5t-6)^2\\
&=t^2+8t+16+1+25t^2-60t+36\\
&=26t^2-52t+53\end{align*}$
$a=26>0$ : le polynôme du second degré atteint donc son minimum pour $t=-\dfrac{-52}{2\times 26}=1$.
Ce minimum vaut $27$.
Ainsi la plus petite longueur $AM$ est égale à $\sqrt{27}$.
Affirmation b vraie
$\quad$
$\quad$
- Vues: 74794