Baccalauréat S Asie 20 juin 2019 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

1. On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $(E)$ à l'inconnue $z$ : \[z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i} = 0\quad (E). \]
   1. Montrer que le nombre $-2\text{i}$ est une solution de l'équation $(E)$.
   2. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a : \[z^3 + \left( -2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) z^2 + \left(4 - 4\text{i}\sqrt{3}\right) z + 8\text{i} = (z + 2i)\left(z^2 - 2\sqrt{3} z + 4\right).\]
   3. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes.
   4. Écrire les solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle.

Dans la suite, on se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$.

1. On considère les points A, B, C d'affixes respectives $-2i$, $\sqrt{3} + \text{i}$ et $\sqrt{3} - \text{i}$.
   1. Montrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
   2. Placer ces points sur une figure que l'on complètera par la suite.
   3. On note D le milieu du segment [OB]. Déterminer l'affixe $z_{\text{L}}$ du point L tel que AODL soit un parallélogramme.
2. On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives $(x~;~y)$ et $(x'~;~y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy' = 0$.
   1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan, d'affixes respectives $z$ et $z'$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $z \overline{z'}$ est un imaginaire pur.
   2. À l'aide de la question \textbf{3. a.}, démontrer que le triangle AOL est rectangle en L.