Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 - Spécialité

Page 9 sur 10: Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans le cadre d'une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi. On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :

• 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
• 10% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

On suppose qu'au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose $a_{0} = 0,5$ et $b_{0} = 0,5$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de $n$ jours, après fermeture de la porte. On désigne par $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

1. Soit $n$ un entier naturel.
   1. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
   2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
   3. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
   4. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1& 1\\2& -1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
   2. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]
3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?