Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Exercice 3 5 points

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.
Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.

1. On effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute.
   Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
   1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
   On a donc $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = (1-0,2)u_n = 0,8u_n$.
   
   La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0 = 10$.
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
   La suite $(u_n)$ est donc géométrique donc $u_n=q^n \times u_0$.
   Par conséquent $u_n = 10 \times 0,8^n$.
   3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
   On cherche la valeur de $n$ telle que :
   $$\begin{array}{ll} u_n < 0,01 \times 10 & \Leftrightarrow 10 \times 0,8^n < 0,1 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n < 0,01 \\ & \Leftrightarrow n \ln 0,8 < \ln 0,01 \\ & \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \\ & \Leftrightarrow n > 21 \end{array}$$
   
   La quantité de médicament dans le sang est inférieure à $1\%$ de la quantité initiale au bout de $21$ minutes.
2. Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 mL, la machine réinjecte 4 mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L' algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Variables : } & n \text{ est un entier naturel.}\\ & v \text{ est un nombre réel.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 10.\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } n \text{ allant de 1 à 15 }\\ & \begin{array}{|l} \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 0,8 \times v. \\ \text{ Si } v < 5 \text{ alors affecter à } v \text{ la valeur } v + 4\\ \text{Afficher }v.\\ \end{array}\\ & \text{ Fin de boucle.}\\ \hline \end{array}$$
   1. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
   $v_3 = 0,8 \times 6,4 = 5,12$
   $v_4 = 0,8 \times 5,12 + 4 = 8,10$ arrondi à $10^{-2}$ car $0,8 \times 5,12 < 5$
   $v_5 = 0,8 \times 8,10 = 6,48$ arrondi à $10^{-2}$
   $v_6 = 0,8 \times 6,48 = 5,18$ arrondi à $10^{-2}$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline v_{n} & 10 & 8 & 6,4 & 5,12 & 8,10 & 6,48 & 5,18 & 8,15 & 6,52 & 5,21 & 8,17 & 6,54 & 5,23 & 8,18 & 6,55 & 5,24\\ \hline \end{array}$$
   2. Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
   On a donc injecté initialement $10$ mL mais on a réinjecté $4$ doses de $4$ mL.
   
   On a donc injecté au total $26$ mL de médicament.
   3. On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2 mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 mL et qu'elle s'arrête au bout de 30 minutes.
      Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
   Variables :
   $\quad$ $n$ est un entier naturel.
   $\quad$ $v$ est un réel.
   Initialisation :
   $\quad$ Affecter à $v$ la valeur $10$.
   Traitement :
   $\quad$ Pour $n$ allant de $1$ à $30$
   $\qquad$ Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$
   $\qquad$ Si $v \le 6$ alors affecter à $v$ la valeur $v+2$.
   $\qquad$ Afficher $v$.
   $\quad$ Fin de boucle
3. On programme la machine de façon que :
   • A l'instant 0, elle injecte 10 mL de médicament,
   • toutes les minutes, elle injecte 1 mL de médicament.
   On estime que 20% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
   Toutes le minutes il reste donc $80\%$ de la quantité précédente soit $0,8w_n$. On rajoute alors $1$ mL.
   Donc $w_{n+1} = 0,8w_n+1$.
   
   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   $$\begin{array}{ll} z_{n+1} &= w_{n+1} – 5 \\ &= 0,8w_n – 4 \\ &= 0,8w_n – 0,8 \times 5 \\ &= 0,8(w_n-5)\\ &= 0,8z_n \end{array}$$ $\quad$
   De plus $z_0 = w_0 – 5 = 10 – 5 = 5$.
   
   La suite $(z_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $z_0=5$.
   3. En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
   On a par conséquent $z_n = 5 \times 0,8^n = w_n – 5$
   donc $w_n = 5 + 5 \times 0,8^n$.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
   $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n = 5$.
   
   Au bout d’un certain temps, l’organisme conservera $5$ mL de médicament dans le sang avec ce programme.