Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées: \[\text{A}\left(1~;~- \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{B}\left(1~;~ \sqrt{3}~;~0\right)\:;\:\text{C}(-2~;~0~;~0)\:;\: \text{D}\left(0~;~0~;~2\sqrt{2}\right).\]

1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
2. On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& t\\ y& =& 0\\ z& =& t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \mathbb R\]
   1. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
   2. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
3. 1. On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
   2. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à -dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.