Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014

1. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
2. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.
   Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice.
3. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.
   Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

• Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
  On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.
  On rappelle que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
• Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10 minutes.

1. Déterminer la valeur de $\lambda$.
D’après l’énoncé on a $E(X) = 10 = \dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda = 0,1$.

2. Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
On cherche à calculer :
$$\begin{array}{ll} P(10 \le X \le 20) & = \text{e}^{-0,1 \times 10}- \text{e}^{-0,1 \times 20} \\ & = \text{e}^{-1} - \text{e}^{-2} \\ & \approx 0,2325 \end{array}$$
3. Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5 minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
On cherche donc à calculer :
$$\begin{array}{ll} P_{X \ge 10}(X \ge 10 + 5) & = P(X \ge 5) \\ &= \text{e}^{-5\times 0,1} \\ &=\text{e}^{-0,5} \\ & \approx 0,6065 \end{array}$$

1. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$


La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,8)$ d’espérance $E(Y) = 0,8n$ et d’écart-type $\sigma = \sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = 0,4\sqrt{n}$

2. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d'écart-type $\sigma = 3,6$.
   Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l'aide de la calculatrice.
On a $p_1 = P(Z \le 71) = 0,5 + P(64,8 \le Z \le 71) \approx 0,9575$ 


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

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3. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l'évènement $\{Z \leqslant 70\}$.
   Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
On cherche donc à calculer $P(Y > 70) = 1 – P(Y \le 70) = 1 – p_1 \approx 0,0425$

Exercice 3 5 points

1. On effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute.
   Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
   1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
   3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
2. Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 mL, la machine réinjecte 4 mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L' algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Variables : } & n \text{ est un entier naturel.}\\ & v \text{est un nombre réel.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 10.\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } n \text{ allant de 1 à 15 }\\ & \begin{array}{|l} \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 0,8 \times v. \\ \text{ Si } v < 5 \text{ alors affecter à } v \text{ la valeur } v + 4\\ \text{Afficher }v.\\ \end{array}\\ & \text{ Fin de boucle.}\\ \hline \end{array}$$
   1. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline v_{n} & 10 & 8 & 6,4 & & & & & 8,15 & 6,52 & 5,21 & 8,17 & 6,54 & 5,23 & 8,18 & 6,55 & 5,24\\ \hline \end{array}$$
   2. Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
   3. On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2 mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 mL et qu'elle s'arrête au bout de 30 minutes.
      Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
3. On programme la machine de façon que :
   • A l'instant 0, elle injecte 10 mL de médicament,
   • toutes les minutes, elle injecte 1 mL de médicament.
   On estime que 20% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   3. En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Exercice 3 5 points

1. On effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute.
   Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_{0} = 10$.
   1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
   On a donc $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = (1-0,2)u_n = 0,8u_n$.
   
   La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0 = 10$.
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
   La suite $(u_n)$ est donc géométrique donc $u_n=q^n \times u_0$.
   Par conséquent $u_n = 10 \times 0,8^n$.
   3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
   On cherche la valeur de $n$ telle que :
   $$\begin{array}{ll} u_n < 0,01 \times 10 & \Leftrightarrow 10 \times 0,8^n < 0,1 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n < 0,01 \\ & \Leftrightarrow n \ln 0,8 < \ln 0,01 \\ & \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \\ & \Leftrightarrow n > 21 \end{array}$$
   
   La quantité de médicament dans le sang est inférieure à $1\%$ de la quantité initiale au bout de $21$ minutes.
2. Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de 10 mL de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 mL, la machine réinjecte 4 mL de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang à la minute $n$. L' algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Variables : } & n \text{ est un entier naturel.}\\ & v \text{ est un nombre réel.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 10.\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } n \text{ allant de 1 à 15 }\\ & \begin{array}{|l} \text{ Affecter à } v \text{ la valeur } 0,8 \times v. \\ \text{ Si } v < 5 \text{ alors affecter à } v \text{ la valeur } v + 4\\ \text{Afficher }v.\\ \end{array}\\ & \text{ Fin de boucle.}\\ \hline \end{array}$$
   1. Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à 1, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l'algorithme.
   $v_3 = 0,8 \times 6,4 = 5,12$
   $v_4 = 0,8 \times 5,12 + 4 = 8,10$ arrondi à $10^{-2}$ car $0,8 \times 5,12 < 5$
   $v_5 = 0,8 \times 8,10 = 6,48$ arrondi à $10^{-2}$
   $v_6 = 0,8 \times 6,48 = 5,18$ arrondi à $10^{-2}$
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline v_{n} & 10 & 8 & 6,4 & 5,12 & 8,10 & 6,48 & 5,18 & 8,15 & 6,52 & 5,21 & 8,17 & 6,54 & 5,23 & 8,18 & 6,55 & 5,24\\ \hline \end{array}$$
   2. Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
   On a donc injecté initialement $10$ mL mais on a réinjecté $4$ doses de $4$ mL.
   
   On a donc injecté au total $26$ mL de médicament.
   3. On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte 2 mL de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 mL et qu'elle s'arrête au bout de 30 minutes.
      Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en mL, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
   Variables :
   $\quad$ $n$ est un entier naturel.
   $\quad$ $v$ est un réel.
   Initialisation :
   $\quad$ Affecter à $v$ la valeur $10$.
   Traitement :
   $\quad$ Pour $n$ allant de $1$ à $30$
   $\qquad$ Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$
   $\qquad$ Si $v \le 6$ alors affecter à $v$ la valeur $v+2$.
   $\qquad$ Afficher $v$.
   $\quad$ Fin de boucle
3. On programme la machine de façon que :
   • A l'instant 0, elle injecte 10 mL de médicament,
   • toutes les minutes, elle injecte 1 mL de médicament.
   On estime que 20% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_{n}$ la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n,\: w_{n+1} = 0,8 w_{n} + 1$.
   Toutes le minutes il reste donc $80\%$ de la quantité précédente soit $0,8w_n$. On rajoute alors $1$ mL.
   Donc $w_{n+1} = 0,8w_n+1$.
   
   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_{n} = w_{n} - 5$. Démontrer que $\left(z_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   $$\begin{array}{ll} z_{n+1} &= w_{n+1} – 5 \\ &= 0,8w_n – 4 \\ &= 0,8w_n – 0,8 \times 5 \\ &= 0,8(w_n-5)\\ &= 0,8z_n \end{array}$$ $\quad$
   De plus $z_0 = w_0 – 5 = 10 – 5 = 5$.
   
   La suite $(z_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $z_0=5$.
   3. En déduire l'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$.
   On a par conséquent $z_n = 5 \times 0,8^n = w_n – 5$
   donc $w_n = 5 + 5 \times 0,8^n$.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner?
   $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n = 5$.
   
   Au bout d’un certain temps, l’organisme conservera $5$ mL de médicament dans le sang avec ce programme.

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
2. On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& t\\ y& =& 0\\ z& =& t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \mathbb R\]
   1. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
   2. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
3. 1. On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
   2. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à -dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne $4x + z\sqrt{2} = 4$.
On teste l’équation fournie pour chacun des points :
$A$ : $4 + 0 = 4$
$B$ : $4 + 0 = 4$
$D$ : $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \times 2 = 4$.
L’équation du plan $(ABD)$ est donc bien $4x + z\sqrt{2} = 4$.
2. On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x& =& t\\ y& =& 0\\ z& =& t\sqrt{2} \end{array}\right.,\: t \in \mathbb R\]
   1. Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
   Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}\left(1;0;\sqrt{2} \right)$.
   Or $\vec{CD}\left(2;0;2\sqrt{2} \right) = 2\vec{u}$.
   Donc $\mathscr{D}$ est parallèle à $(CD)$.
   De plus en prenant $t=0$ on constate que $O$ appratient à $\mathscr{D}$.
   
   2. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABD).
   Le point $G$ appartient à la fois au plan $(ABD)$ et à la droite $\mathscr{D}$. Ses coordonnées vérifient donc toutes leurs équations.
   On obtient ainsi $4t+t\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ soit $6t = 4$ d’où $t = \dfrac{2}{3}$.
   Par conséquent $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};0;\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.
3. 1. On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
   On a donc $L\left(\dfrac{1 – 2}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2};0\right)$ soit $L\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2};0\right)$.
   Par conséquent $\vec{BL}\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\sqrt{3};0\right) = -\dfrac{3}{2}\vec{OB}$.
   Donc $(BL)$ passe par $O$.
   $\vec{AC}\left(-3;\sqrt{3};0\right)$
   De plus $\vec{BL}.\vec{AC} = -\dfrac{1}{2} \times (-3) + \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} + 0 = \dfrac{3}{2} – \dfrac{3}{2} = 0$.
   Les droites $(BL)$ et $(AC)$ donc sont bien orthogonales.
   
   2. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
   On a $AB = 2\sqrt{3}$, $AC= \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$ et $BC= \sqrt{(-2-1)^2+3} = 2\sqrt{3}$.
   Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
   D’après la question 3.a. On a $\vec{BL} = \dfrac{3}{2}\vec{BO}$ donc $\vec{BO} = \dfrac{2}{3}\vec{BL}$.
   $BL$ est la médiane issue de $B$ du triangle $ABC$. Par conséquent le centre de gravité (qui est aussi le centre du cercle circonscrit) se trouve au $\dfrac{2}{3}$ de cette médiane en partant de $B$. Il s’agit par conséquent de $O$.
   $\quad$
4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c'est-à -dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
$AD = \sqrt{4 \times 2 + 1 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$BC = \sqrt{ 4 \times 2 + 1 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$CD = \sqrt{4 \times 2 +4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{2}$.
Les six arêtes ont bien la même longueur. Le tétraèdre est régulier.

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

• 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
• 10% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

1. Soit $n$ un entier naturel.
   1. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
   2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
   3. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
   4. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1& 1\\2& -1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
   2. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]
3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

• 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte,
• 10% des souris qui étaient dans le compartiment B avant l'ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

1. Soit $n$ un entier naturel.
   1. Justifier que $U_{1} = \begin{pmatrix}0,45\\0,55\end{pmatrix}$.
   On a $a_1 = 0,8a_0+0,1b_0 = 0,8 \times 0,5 + 0,1 \times 0,5 = 0,45$ et $b_1 = 1 – a_1 = 0,55$.
   Donc $U_1=\begin{pmatrix}0,45\\\\0,55 \end{pmatrix}$
   $\quad$
   
   2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.
   On a donc $a_{n+1} = 0,8a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,2a_n+0,9b_n$.
   $\quad$
   
   3. En déduire que $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice que l'on précisera. On admet sans démonstration que $U_{n} = M^n U_{0}$.
   Si on pose $M=\begin{pmatrix} 0,8&0,1 \\\\0,2&0,9 \end{pmatrix}$ on a ainsi $U_{n+1}=MU_n$
   
   4. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.
   Au bout de $3$ jours on a $U_3 = M^3U_0$ $= \begin{pmatrix}0,3905\\\\0,6095\end{pmatrix}$
2. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1& 1\\2& -1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$.
   $P^2 = \begin{pmatrix}3&0\\\\0&3\end{pmatrix}$
   Par conséquent $P \times P = 3I_2$ cela signifie donc que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$
   
   2. Vérifier que $P^{- 1} MP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   $P^{-1}MP = \begin{pmatrix}1&0\\\\0&0,7 \end{pmatrix} = D$
   
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $M^n = P D^n P^{- 1}$. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient \[M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1 +2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{1 - 0,7^n}{3} \\ \dfrac{2 - 2 \times 0,7^n}{3}& \dfrac{2 + 0,7^n}{3}\end{pmatrix}.\]
   Démontrons ce résultat par récurrence
   Initialisation : si $n=1$ alors $P^{-1}MP = D$ soit $M=PDP^{-1}$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n = PD^nP^{-1}$.
   Donc $ M^{n+1} = M\times M^n = PDP^{-1} \times PD^n\times P^{-1} = PDD^nP^{-1} = PD^nP^{-1}$.
   La propriété est vraie au rang $n$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
   Donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, on a $M^n = PD^nP^{-1}$.
3. En s'aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?
On a $U_{n}=M^nU_0 = \begin{pmatrix} 0,5 \times \dfrac{1 + 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \times \dfrac{1 – 0,7^n}{3} \\\\0,5 \times \dfrac{2 – 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \dfrac{2 + 0,7^n}{3} \end{pmatrix}$
$-1<0,7<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,7^n = 0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n = \dfrac{2}{3}$.
Sur le long terme la cage A contiendra donc $\dfrac{1}{3}$ de la population des souris et la cage B les deux tiers.