Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l'équation \[51x - 26y = 1\] où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.

1. Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
Les nombres $51$ et $26$ sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Bezout, l’équation $51x-26y=1$ admet donc au moins une solution.
$\quad$
2. 1. Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation.
   $51 \times (-1)-26\times (-2) = -51+52=1$
   Le couple $(-1;-1)$ est donc solution de cette équation.
   $\quad$
   
   2. Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation.
   Soit $(x;y)$ une autre solution de cette équation.
   $51x-26y=1$ et $51 \times (-1)-26\times (-2) =1$
   Par différence, on obtient :
   $51(x+1)-26(y+2)=0$ soit $51(x+1)=26(y+2)$
   Les nombres $51$ et $26$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x+1=26k$ et $y+2=51k$
   Soit $x=26k-1$ et $y=51k-2$.
   $\quad$
   Réciproquement :
   Soit $k$ un entier relatif.
   $51(26k-1)-26(51k-2)=1326k-51-1326k+52=1$
   L’ensemble des couples solutions de l’équation est donc l’ensemble des couples $(26k-1;51k-2)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$

 

Partie B

On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array} $$ Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$. La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$.

1. Coder la lettre N.
$N$ est associé à l’entier $13$.
$51\times 13 + 2=665$ et $665\equiv 15~[26]$
$N$ est donc codé par la lettre $P$.
$\quad$
2. En utilisant la partie A, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $51a \equiv 1\:\:[26]$.
$51a\equiv 1~[26]$ Il existe donc un entier relatif $b$ tel que $51a=1+26b$ soit $51a-26b=1$
D’après la partie A, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $a=26k-1$.
On veut que $0 \le a \le 26$ $\Leftrightarrow 0 \le 26k-1\le 1$ $\Leftrightarrow 1\le 26k \le 27$ $\Leftrightarrow k=1$
Par conséquent $a=25$.
$\quad$
3. Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$.
On a donc :
$\begin{align*} 51x+2\equiv y~[26] & \rightarrow 51ax+2a \equiv ay~[26] \\\\
&\rightarrow x+50 \equiv ay~[26] \\\\
&\rightarrow x+24 \equiv ay~[26] \\\\
&\rightarrow x \equiv ay-26~[26] \\\\
&\rightarrow x\equiv ay+2~[26]
\end{align*}$
$\quad$
4. Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N.
$25 \times 13 + 2=327 \equiv 15~[26]$
Ainsi la lettre $P$ est codée par la lettre $N$.
$\quad$
5. On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?
Si $f(x)=y$ alors
$51y+2 \equiv 25y+2~[26]$ soit $f(y)=x$.
Ainsi $f\left(f(x)\right)=x$
Quand on applique deux fois de suite la fonction $f$ on retrouve la lettre de départ.
Par conséquent si on applique $100$ fois de suite la fonction $f$ on obtiendra la lettre de départ.
$\quad$