Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Commun à tous les candidats

Les trois questions sont indépendantes. Toute réponse doit être justifiée.

1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par \[u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } \:n,\quad \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1.\]
   La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
2. Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$.
   La proposition $(\mathcal{P})$ suivante est-elle vraie ou fausse ?
   \[(\mathcal{P}) : \text{si la suite }\:\left(v_{n}\right)\: \text{est majorée alors la suite }\:\left(w_{n}\right)\: \text{est majorée.}\]
3. La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par \[z_0 = 2 + 3\text{i}\: \text{ et, pour tout entier naturel }\:n \:\:\text{par}\: z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.\] Pour quelles valeurs de $n$,$\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?