Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels par \[f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}.\] On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$.

Partie A : Étude de la fonction $f_1$

 

1. La fonction $f_1$ est définie sur $\mathbb R$ par $f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}$. On admet que $f_1$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f_1'$ sa dérivée.
   1. Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$.
   Pour tout réel $x$, on a $f_1′(x)=2x\text{e}^{-2x}-2x^2\text{e}^{-2x}=2x\text{e}^{-2x}(1-x)$.
   $\quad$
   
   2. Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\mathbb R$.
   Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$, le signe de $f_1(x)$ ne dépend que de celui de $x(1-x)$. Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-1$ et les racines sont $0$ et $1$.
   Par conséquent $f_1′(x)$ est négatif sur les intervalles $]-\infty;0]$ et $[1;+\infty[$ et négatif sur $[0;1]$.
   Ainsi la fonction $f_1$ est décroissante sur $]-\infty;0]$, croissante sur $[0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$.
   $\lim\limits_{x \to -\infty} -2x=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{-2x} = +\infty$.
   $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ donc par produit $\lim\limits_{x \to -\infty} f_1(x)=+\infty$.
   $\quad$
   
   4. Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$.
   d. $f_1(x)=x^2\text{e}^{-2x}=\dfrac{x^2}{\text{e}^{2x}} = \dfrac{x^2}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$.
   $\quad$
   On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=0$.
   Puisque $\lim\limits_{X \to +\infty} X^2 = 0$ on obtient par composition $\lim\limits_{x \to +\infty} f_1(x)=0$.
   $\quad$
2. En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$. En déduire la valeur exacte de $I_1$.
On a :
$\begin{align*} I_1 &= \int_0^1 f_1(x)\mathrm{d}x \\\\
&= F_1(1)-F_1(0) \\\\
&=-\text{e}^{-2} \times \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$

 

Partie B : Étude de la suite $\left(I_n\right)$

 

1. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   1. Interpréter graphiquement la quantité $I_n$.
   La fonction $f_n$ est continue (car dérivable) sur $\mathbb R$ et positive sur $[0;1]$.
   Par conséquent $I_n$ correspond à l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   $\quad$
   
   2. Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture.
   On calcule des valeurs approchées de $I_n$ à l’aide de la calculatrice.
   $I_1 \approx 0,0808$, $I_2 \approx 0,0238$, $I_3 \approx 0,0087$, $I_4 \approx 0,0039$, $I_{100} \approx 2 \times 10^{-7}$.
   La suite $\left(I_n\right)$ semble donc décroissante et converger vers $0$.
   $\quad$
2. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0 ; 1], \[f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x).\]
   Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $f_{n+1}(x)=x^2\text{e}^{-2(n+1)x} = x^2\text{e}^{-2nx-2x} = x^2\text{e}^{-2nx}\times\text{e}^{-2x}=f_n(x)\text{e}^{-2x}$
   $\quad$
   
   2. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0 ; 1], \[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\]
   Sur $[0;1]$, la fonction $\text{e}^{-2x} \le \text{e}^0$ soit $\text{e}^{-2x} \le 1$.
   Par conséquent, en multipliant les deux côtés de cette inégalité par $f_n(x)$, qui est toujours positif sur $[0;1]$ car produit de facteurs positifs, on obtient :
   $f_{n+1}(x) = f_n(x)\text{e}^{-2x} \le f_n(x)$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.
   La suite $\left(I_n\right)$ est donc décroissante.
3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0 ; 1], \[0 \leqslant f_n(x) \leqslant \text{e}^{-2nx}.\]
   Sur $[0;1]$, $0 \le x^2 \le 1$.
   Par conséquent, en multipliant l’encadrement par $\text{e}^{-2nx}$ qui est toujours positif, on obtient $0 \le f_n(x) \le \text{e}^{-2nx}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
   $\quad$
   
   2. En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite.
   On a donc, en intégrant sur $[0;1]$ :
   $\begin{align*} 0 \le I_n \le \int_0^1 \text{e}^{-2nx}\mathrm{d}x &\Leftrightarrow 0 \le I_n \le \left[\dfrac{\text{e}^{-2nx}}{-2n}\right]_0^1 \\\\
   &\Leftrightarrow 0 \le I_n \le \dfrac{\text{e}^{-2n}}{-2n}+\dfrac{1}{2n}
   \end{align*}$
   Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2n}=0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^{-2n} = 0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{-2n}}{-2n} = 0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\text{e}^{-2n}}{-2n}+\dfrac{1}{2n}\right) = 0$
   D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n =0$.
   $\quad$