Baccalauréat S Métropole -La Réunion 9 septembre 2015 - Exercice 3

Page 5 sur 10: Exercice 3

Exercice 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi la spécialité

Espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
• la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&-2 + t\\ y&=& \phantom{-}1 + t\\ z&=&-1 - t \end{array}\right. , \:t \in \mathbb R$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2. 1. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles.
   2. Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes.
3. Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.
   Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$.
4. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$.
5. 1. Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$.
   2. Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
6. 1. Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
   2. En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.