Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

• s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
• s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

1. Calculer $p_1$ et $q_1$.
On a $p_1 = 0,9p_0 + 0,4q_0 = 0,4$ et $q_1 = 1 – p_1 = 0,6$.

2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : $$ \begin {array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &n &p_n &q_n &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end {array} $$ Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$. Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
En $B3$ on peut écrire : $=0,9*B2+0,4*C2$ et en $C3$ on peut écrire $=1-B3$.

3. On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$, $X_n$ par $$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.$$ On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = M^n \times X_0$. On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que $M = A + 0,5B$.
   $\begin{align*} A+0,5B &= \begin{pmatrix} 0,8&0,8 \\0,2& 0,2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,1&-0,4\\-0,1&0,4 \end{pmatrix}\\
   &= \begin{pmatrix} 0,9&0,4 \\0,1&0,6 \end{pmatrix}\\
   &= M
   \end{align*}$
   
   2. Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$. On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$.
   $A^2 = \begin{pmatrix} 0,8^2 + 0,8 \times 0,2&0,8^2 + 0,8 \times 0,2 \\0,8\times 0,2 + 0,2^2&0,2\times 0,8 + 0,2^2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,8 \\0,2&0,2\end{pmatrix}$ $=A$.
   $\quad$
   $A \times B = \begin{pmatrix} 0,8 \times 0,2 – 0,8 \times 0,2 & -0,8^2+0,8^2 \\0,2^2 – 0,2^2 & -0,8 \times 0,2 + 0,2 \times 0,8\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
   $\quad$
   $B \times A = \begin{pmatrix} 0,2 \times 0,8 – 0,8 \times 0,2 & 0,2 \times 0,8 – 0,8\times 0,2 \\-0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 & -0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $M^n = A + 0,5^n B$.
   Montrons le résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $M^0 = \text{Id}$ et $A+0,5^0B = A+B = \text{Id}$
   La propriété est donc vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=A+0,5^nB$.
   $\begin{align*} M^{n+1} &= M \times M^n\\ &=(A+0,5B)\left(A + 0,5^nB\right)\\ &=A^2 +0,5^nAB + 0,5AB + 0,5^{n+1}B\\ &= A+0,5^{n+1}B \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $M^n = A +0,5^nB$.
   $\quad$
   
   4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$  $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$.
   On a $X_n = M^n \times X_0$
   Or $M^n = \begin{pmatrix} 0,8 + 0,5^n \times 0,2&0,8 – 0,5^n \times 0,8 \\0,2 – 0,5 ^n \times 0,2 & 0,2 + 0,5^n \times 0,8 \end{pmatrix}$
   Et $X_0 = \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}$
   Donc $p_n = 0,8 – 0,5^n \times 0,8$
   $\quad$
   
   5. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
   $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = 0,8$.
   Le fumeur a donc de grande chance d’arrêter de fumer mais, puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n \neq 1$, on ne peut pas l’affirmer avec certitude.