Bac STI2D Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2016 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large. Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,02$. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

Partie A

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [14,95 ; 15,05].

1. Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme. L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de 2000 aux fabricants de vélos électriques. En moyenne, chaque lot de 2000 batteries en contient $24$ non conformes. On note $p$ la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard 2000 batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de 2000 par une variable aléatoire $Y$.
Une batterie est non conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, n'appartient pas à l'intervalle $[14,95;15,05]$. $$P(X\notin [14,95;15,05]) =1-P(14,95\leq X \leq 15,05) \approx 0,012$$ On détaille un peu :

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie au millième près, la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme est 0,012.
2. Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Préciser ses paramètres.
3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $30$ batteries non conformes dans un lot de 2000 batteries.
La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler le prélèvement de 2000 batteries à un tirage aléatoire avec remise donc :
La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=2000$ et $p=\dfrac{24}{2000}=0,012$.

 

Partie B

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{2000}\approx[0,007; 0,017]$$ Soit un intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % du nombre de batteries non conformes dans un échantillon de taille 2000 : $I=[0,007\times 20000; 017\times 2000] =[14; 34]$

Avec un niveau de confiance de 95 % on accepte l'affirmation du responsable de l'usine.