Bac STI2D Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Equation différentielle

Le bassin d'une piscine municipale a une capacité de 600000 litres d'eau. Afin de respecter les normes d'hygiène et de sécurité, 30000 litres d'eau de la piscine sont renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de $0,25$ mg/L.
Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable, $1$ kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à $20$  h.
Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public. On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction $f$. Lorsque $t$ désigne le temps écoulé depuis l'accident, exprimé en heures, $f(t)$ représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre. On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle (E) : \[y' + 0,05 y = 0\quad \text{où }\: y \text{ désigne une fonction de la variable } t.\]

1. 1. Résoudre l'équation différentielle (E).
   Les solutions de l'équation différentielle (E) : $y'+0,05 y=0$ , qui se met sous la forme $y'= - 0, 05 y$ ( type $y'=ay$ où $a=-0,05$) sont les fonctions $f$ de la forme $f:t\mapsto k e^{-0,05 t} $ où $k$ est un réel .
   2. Que vaut $f(0)$ ? En déduire une expression de $f(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
   Au moment de l'accident, la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre est : $ \dfrac{10^6}{600000}=\dfrac{5}{3}$ Ainsi, $f(0) = \dfrac{5}{3}$ d'où $ k e^0=\dfrac{5}{3}$ soit $k=\dfrac{5}{3}$ La fonction $f$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t)= \dfrac{5}{3} e^{-0,05 t} $.
2. On admet que $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = \dfrac{5}{3} \times \text{e}^{- 0,05t}$. À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?
$$\begin{array}{rll} \dfrac{5}{3}\times e^{-0,05 t} \leq 0, 25& \iff e^{-0,05 t}\leq 0, 25\times \dfrac{3}{5} & \text{ on multiplie par } \dfrac{3}{5}> 0 \\ & \iff e^{-0,05 t}\leq \dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5} & \\ & \iff e^{-0,05 t}\leq \dfrac{3}{20} & \\ & \iff \ln\left ( e^{-0,05 t}\right )\leq \ln\left ( \dfrac{3}{20}\right ) &\text{ on applique } \ln \\ &\iff -0,05 t \leq \ln\left ( \dfrac{3}{20}\right ) & \\ &\iff t\geq -\dfrac{ \ln\left ( \dfrac{3}{20}\right )}{0,05}& \text{ on divise par } -0,05< 0 \\ &\iff t\geq -20 \ln\left ( \dfrac{3}{20}\right ) & \end{array}$$ Comme $ -20 \ln\left ( \dfrac{3}{20}\right ) \approx 37,94$ , on en déduit que : La piscine pourra être ouverte au public 38 heures après le moment de l'accident.