Bac STI2D Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2016 - Exercice 4

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Exercice 4  5 points

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large. Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,02$. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

Partie A

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [14,95 ; 15,05].

1. Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme. L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de 2000 aux fabricants de vélos électriques. En moyenne, chaque lot de 2000 batteries en contient $24$ non conformes. On note $p$ la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard 2000 batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de 2000 par une variable aléatoire $Y$.
2. Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Préciser ses paramètres.
3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $30$ batteries non conformes dans un lot de 2000 batteries.

 

Partie B

Dans le cadre d'un fonctionnement correct des machines de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de batteries non conformes est 1,2 %. Le responsable de l'usine affirme qu'il ne vend pas de lot de 2000 batteries qui en contienne plus de $40$ non conformes. Quelle est la fiabilité de cette affirmation ? Justifier.