Bac STI2D Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

QCM
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

1. Considérons les deux nombres complexes $z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_2 = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
   Affirmation 1 : Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$.
Déterminons la forme exponentielle du nombre complexe $z_2=1-\text{i}\sqrt 3$ : $$\begin{array}{cc} \text{ Module} & \text{ Argument} \\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ 1^2+\sqrt{3}^2}\\ &=\sqrt 4\\ &= 2 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{1}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=-\frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = - \frac{\pi}{3} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= 1 - \text{i}\sqrt 3= 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3} \right) +\text{i}\sin \left(-\frac{\pi}{3} \right) \right)= 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$$ $$\begin{array}{rl} z_1\times z_2 &= \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} \\ & =\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{9\pi}{12}}\times 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{4\pi}{12}} \\ &= 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}} \end{array}$$ $$\text{Le produit } z_1 \times z_2 \text{ est égal à } 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$$
L'affirmation 1 est vraie .
2. Affirmation 2 : La solution $f$ de l'équation différentielle $y" + 4y = 0$ qui vérifie $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 2$ admet comme représentation graphique :
   
Les solutions de l'équation différentielle $y"+4 y=0$ ( du type $y"+\omega ^2 y=0$ avec $\omega =2$ sont les fonctions $f$ de la forme $f:x\mapsto A\cos \left(2x \right)+B\sin \left(2 x \right)$
• Or $f(0)= -1 \iff A\cos \left(0 \right)+B\sin \left(0 \right) = -1\iff A= -1$
• Comme $ f(x)= A\cos \left(2x \right)+B\sin \left(2 x \right)$ d'où on déduit $f'(x) =-2A\sin \left(2x \right)+2B\cos \left(2 x \right)$ et
• $f'0)= 2\iff 2B = 2 \iff B=1 $
• Ainsi, la solution $f$ de l'équation différentielle $y"+4 y=0$ qui vérifie $f(0)= -1$ et $f'(0)= 2$, est la fonction définie par $f(x)= -\cos \left(2x \right)+\sin \left(2 x \right)$.
• Comme pour tout réel $x$ on a $-1\leq \sin 2x\leq 1$ et $-1\leq \cos 2x\leq 1$, on en déduit que $-2\leq f(x)\leq 2$.
L'affirmation 2 est fausse .
3. Affirmation 3 : La solution de l'équation $\ln(x + 3) = 5$ est $\text{e}^5 - 3$.
$$\begin{array}{rl} \ln(x + 3) = 5& \iff\text{ e} ^{\ln(x + 3)} = \text{ e} ^ 5 \\ & \iff x + 3 = \text{ e} ^ 5 \\ & \iff x = \text{ e} ^ 5 -3\\ \end{array}$$ L'affirmation 3 est vraie .
4. La durée de vie en heures d'un certain type d'ampoules électriques est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,000125 \: \left(\text{exprimé en } \:h\right)$.
   Affirmation 4 : En moyenne, la durée de vie d'une ampoule est 1250 h.
L'espérance de la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,000125$ est : $$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}= \dfrac{1}{0,000125} =8000$$ L'affirmation 4 est fausse .
5. Affirmation 5 : la fonction $F(x) = x\ln x - x + 2$ est une primitive de la fonction $f(x) = \ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
$F$ est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables.On écrit $F(x) = x\ln x - x + 2= x\left ( \ln x -1\right ) + 2 $ $F=u v ,$ d'où $F'=u'v+v'u $ avec pour tout réel $x$, dans $ ]0~;~+\infty[$ : $\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ = x\\ v(x)~ = \ln x -1\end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = 1\\ v'(x)~ = \dfrac{1}{x}\end{array}\right.$ $$ \begin{array}{cl} F'(x)& = 1\times (\ln x -1) + \times x \\ & = \ln x + 1 -1\\ &= \ln x = f(x) \end{array} $$ L'affirmation 5 est vraie .