Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 (5 points)

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.


$u_{1}=u_0=2\times 0+2=2$ et $u_{2}=u_1+2\times 1+2=6$.
2. On considère les deux algorithmes suivants : $$\begin{array}{|l |l |l |l |l|}\hline \text{Algorithme 1}& & &\text{Algorithme 2}&\\ \hline \text{Variables :}& n \text{ est un entier naturel}& &\text{Variables :}& n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel }& & &u \text{ est un réel } \\ \text{Entrée :}&\text{Saisir la valeur de } n &&\text{Entrée :}&\text{ Saisir la valeur de } n\\ \text{Traitement :}& u \text{ prend la valeur 0 }& &\text{Traitement :}& u \text{ prend la valeur 0}\\ &\text{ Pour } i \text{ allant de 1 à } n: & & &\text{ Pour } i \text{ allant de 1 à } n - 1 :\\ & u \text{ prend la valeur } u + 2i + 2& & & u \text{ prend la valeur } u + 2i + 2\\ &\text{ Fin Pour }& & &\text{ Fin Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{ Afficher } u& &\text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$ De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ?

Le second affiche en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur.
3. À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée.

   $$\begin{array}{|c|c|}\hline n &u_{n}\\ \hline 0& 0 \\ \hline 1& 2 \\ \hline 2& 6 \\ \hline 3& 12 \\ \hline 4& 20 \\ \hline 5& 30 \\ \hline 6& 42 \\ \hline 7& 56 \\ \hline 8& 72 \\ \hline 9& 90 \\ \hline 10& 110\\ \hline 11& 132\\ \hline 12& 156\\ \hline \end{array}$$

   1. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Démontrer cette conjecture.
   
   La suite $\left(u_{n}\right)$ semble être croissante.
   Démonstration : \[ u_{n+1}-u_n=u_{n} + 2n +2-u_n=2n+2>0\ \text{pour tout}n \text{naturel} \]
   2. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = an^2 + bn + c$. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies.

\[ \left\lbrace\begin{array}{l} u_0=a\times 0^2+b\times 0+c=0\\ u_1=a\times 1^2+b\times 1+c=2\\ u_2=a\times 2^2+b\times 2+c=6 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a+b=2\\ 4a+2b=6\\ c=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a+b=2\\ 2a+b=3\\ c=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} a=1\\ b=1\\ c=0 \end{array}\right. \]
4. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$.
   1. Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
   
   C'est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=2$.
   2. On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$.
   
   \[ S_n=\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}=(n+1)v_0+\frac{n(n+1)}{2}\times r=2(n+1)+n(n+1)=(n+1)(n+2) \]
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\[ S_n=({u_1}-u_0)+({u_2}-{u_1})+\cdots + ({u_n}-{u_{n-1}})+(u_{n+1}-{u_n})=u_{n+1}-u_0 \] \[ S_{n-1}=u_n-u_0\Longleftrightarrow u_n=S_{n-1}+u_0=n(n+1)+0=n(n+1) \]