Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée. 
  1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.
  2. Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$.
    Affirmation n° 1 :
    « Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »
    Polynesie Juin 2014 arbre
    Pl: il pleut; V: en voiture; P: à pied
    On cherche $p(V)$: $$\begin{array} p(V)&=p(V\cap \text{Pl})+p(V\cap \overline{\text{Pl}})\\ &=p_{\text{Pl}}(V)\times p(\text{Pl})+p_{\overline{\text{Pl}}}(V)\times p(\overline{\text{Pl}})\\ &= 0,8\times 0,25+0,4\times 0,75=0,5 \end{array}$$
    «  Zoé utilise la voiture un jour sur deux. » 
    Affirmation no 1 : VRAIE
  3. Dans l'ensemble $E$ des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements $A$ et $B$.
    Affirmation n° 2 :« Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. »

  4. Dans l'ensemble $E$ des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$.  $A$ et $B$ sont indépendants signifie que $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$: \[ p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap\overline{B})=p(A)\times p(B)+p(A\cap\overline{B})\Longrightarrow p(A\cap\overline{B})=p(A)-p(A)\times p(B)=p(A)\left(1-p(B)\right)=p(A)\times p(\overline{B}) \]
    «  Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. » 
    Affirmation no 2 : VRAIE
  5. On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$.
  6. Affirmation n° 3 :
    « La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est $0,7$ environ. »
    On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$. Affirmation no 3 : FAUX $$ p(X<5)=\int_0^5 -0,7\text{e}^{-0,7x}\text{d}x=\left\lbrack-\text{e}^{-0,7x}\right\rbrack_0^5 =1-\text{e}^{-0,7\times 5}\approx 0,503 $$ «  La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est $0,503$ environ. » Affirmation n° 4 :
    « Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes.»

    Affirmation no 4 : FAUX $$ E(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,7}\simeq 1,42 $$ « Le temps d'attente moyen à ce guichet est d'environ 1 minute et demi.» 
  7. On sait que 39 % de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge $183$ donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguin A+.
    Affirmation n° 5 :
    « On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l'ensemble de la population. »

  8. On sait que 39 % de la population française est du groupe sanguin A+ ($p=0,39$). On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge $n=183$ donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguin A+  ($f=0,34$). On va trouver un intervalle de confiance au seuil de 95 %. $$\left\lbrack f-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right\rbrack= \left\lbrack 0,34-\frac{1}{\sqrt{183}}\,;\,0,34+\frac{1}{\sqrt{183}}\right\rbrack\subset \left\lbrack 0,26~;~0,42\right\rbrack\ni p=0,39 $$ « On ne peut donc pas rejeter, au seuil de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l'ensemble de la population. » 
    Affirmation no 5 : VRAIE
Exercice 4
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