Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.
  1. Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.

  2. $$ M(x;y)\in \mathcal{C}_{f}\cap \mathcal{C}_{g}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \text{e}^x=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} X=\text{e}^{\frac{x}{2}}\\ X^2-2X+1=(X-1)^2=0 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}=1\Longleftrightarrow x=0 $$ Ainsi $M$ a pour coordonnées $(0\,;\,1)$. $$ f'(x)=\text{e}^x\Longrightarrow f'(0)=1\quad;\quad g'(x)=\text{e}^{\frac{x}{2}}\Longrightarrow g'(0)=1 $$ En $M$, leurs tangentes ont, toutes deux le même coefficient directeur $1$, elles ont donc même tangente $\Delta$ d'équation $y-1=1(x-0)\Longleftrightarrow y=x+1$.
  3. Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$.
    1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.


    2. Limite de la fonction $h$ en $- \infty$: $$ \lim_{x\to-\infty}h(x)=\lim_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to-\infty}\text{e}^{\frac{x}{2}}=0 $$
    3. Justifier que, pour tout réel $x, h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$.

    4. Pour tout réel $x$ $$ x\left(\frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}-1-\dfrac{2}{x}\right)={x}\times\text{e}^{\frac{x}{2}}\times \frac{2}{{x}}-x-{x}\frac{2}{{x}}=2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2=h(x) $$ Limite de la fonction $h$ en $+ \infty$: $$ \lim_{x\to+\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}x\times \frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}=+\infty,\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\ \text{et}\ \lim_{X=\frac{x}{2}\to+\infty}\frac{\text{e}^X}{X}=+\infty $$
    5. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.

    6. $$ h'(x)=2\times\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}-1=\text{e}^{\frac{x}{2}}-1 $$ $$h'(x)>0\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}>1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}>0\Longleftrightarrow x>0$$
    7. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.

  4. En déduire que, pour tout réel $x,\:\: 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \geqslant x + 1$.

  5. La fonction $h$ possède un minimum en $0$ qui est $0$. Donc: $$ \forall x,\ x\in\mathbb{R},\ h(x)\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-x-2=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1-x-1\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\geqslant x+1 $$
  6. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?

  7. Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{g}$ se trouve au dessus de la droite d'équation $y=x+1$ qui est la droite $\Delta$.

 

  • Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$
    1. Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1\right)^2$.

    2. On a vu plus haut (question 1.) que, pour tout réel $x$, $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\right)^2=f(x)-g(x)\geqslant 0$.
    3. Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.

    4. Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{f}$ se trouve au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$. Ainsi, $\left|f(x)- g(x)\right| = \left(f(x) - g(x)\right)$.
  •  

  • Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
  • $$\begin{array}{cc} \mathcal{A}&=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|\text{d}x=\int_0^1\left(f(x)-g(x)\right)\text{d}x=\int_0^1\text{e}^x\text{d}x-4\int_0^1\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}\text{d}x+\int_0^1\text{d}x\\ &= \left\lbrack\text{e}^x\right\rbrack_0^1-4\left\lbrack\text{e}^{\frac{x}{2}}\right\rbrack_0^1+\left\lbrack x\right\rbrack_0^1=\text{e}-1-4\text{e}^{\frac{1}{2}}+4+1=\text{e}-4\sqrt{\text{e}}+4\simeq 0,123\\ \end{array}$$

    Exercice 3
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