Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité (5 points)

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 ^er  janvier 2013, cette région comptait 250000 ~habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville. L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l'effectif de la population est globalement constant,
• chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 ^er janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
   Chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
   Donc pour tout entier naturel $n$, $\left \{ \begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & 95\%v_n+1\%c_n \\ c_{n+1} & = & 5\%v_n+99\%c_n \end{array} \right.$
   Ainsi $\left \{\begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & 0,95v_n+0,01c_n \\ c_{n+1} & = & 0,05v_n+0,99 c_n \end{array} \right.$
   $\begin{pmatrix}v_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95v_n+0,01c_n\\0,05v_n+0,99 c_n \end{pmatrix}$
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$. On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
   Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
   Comme $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$ on a $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=AX=\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b\end{pmatrix}$. $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b\end{pmatrix}$
   Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$.
3. Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$. \\ $P\times Q= \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6 Id_2$ $Q \times P = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6 Id_2$, donc $P$ est inversible et
      $P^{- 1}=\dfrac{1}{6}Q=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
   2. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
      $$P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \underbrace{ \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix} $$ $$P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}1&-4,7\\1&0,94\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix} $$ $$P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix} $$
      On a donc $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix}=D $
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
      Montrons par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = P \times D^n \times P^{- 1} $
      • Initialisation : $D=P^{- 1}\times A\times P$ (question précédente). d'où en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{- 1}$ , il vient :
        $P \times D^1 \times P^{- 1}=P\times P^{- 1}\times A\times P\times P^{- 1} $ et donc n a bien $A^1 = P \times D^1 \times P^{- 1}$
      • Hérédité : Supposons qu'il existe $k \geq 1$ tel que $A^k = P \times D^k \times P^{- 1}$. Alors $A^{k+1} = A^k \times A = \left(P \times D^k \times P^{- 1} \right) \times \left(P \times D \times P^{- 1} \right) =P \times D^k \times \left(P^{- 1} \times P \right) \times D \times P^{- 1} =$ $ P \times D^k \times I \times D \times P^{- 1} = P \times \left(D^k \times D \right)\times P^{- 1} =P \times D^{k+1}\times P^{- 1}$. La formule est donc vraie au rang $k + 1$. On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = P \times D^n \times P^{- 1}$.
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que \[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\] Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
   Si $-1<q<1$ alors :$\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,94^n=0$
   $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0}= \dfrac{1}{6}v_0\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}=\dfrac{1}{6}c_0 \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~v_{n}= \dfrac{1}{6}v_0+ \dfrac{1}{6}c_0=\dfrac{1}{6}\left (v_0+c_0\right )=\dfrac{250\;000}{6}\approx 41 667$
   La population en ville sera, au bout d'un grand nombre d'années de 41 667 habitants, soit environ $\dfrac{1}{6}$ de la population totale .