Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013

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Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25 % de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30 %.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
   On envisage les événements suivants :
   • $H_{1}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ »,
   • $H_{2}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ »,
   • $H_{3}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ »,
   • $C$  : «l'arbre choisi est un conifère »,
   • $F$  : «l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
   
   
   1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
   2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$.
   3. Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$.
   4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
2. On choisit au hasard un échantillon de $10$ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$ arbres dans le stock. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères?
      On arrondira à $10^{-3}$.
   3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à $10^{-3}$.