Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. Proposition 1: Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z-i|=|z+1|$ est une droite.
   On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $i$ et $-1$.
   $|z-i|=|z+1| \Leftrightarrow |z-i|=|z-(-1)| \Leftrightarrow \left|z_M-z_A \right|=\left|z_M-z_B\right| \Leftrightarrow AM=BM $
   L'ensemble cherché est la médiatrice de $[AB]$, la proposition 1 est donc vraie.
2. Proposition 2: Le nombre complexe $(1+i \sqrt 3 )^4$ est un nombre réel.
   On met $u=1+i \sqrt 3$ sous forme exponentielle .
   $|u|=\sqrt{1^2+\sqrt 3^2}=\sqrt 4=2$
   Ainsi $u=2 \left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
   On a alors $(1+i \sqrt 3 )^4 =\left( 2e^{i\frac{\pi}{3}}\right )^4=2^4e^{i\frac{4\pi}{3}}=16e^{i\frac{4\pi}{3}}=16\left (\cos\left (\frac{4\pi}{3}\right )+i\sin\left (\frac{4\pi}{3}\right )\right)=16\left (-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-8-8i\sqrt3$
   Le nombre complexe $(1+i \sqrt 3 )^4$ n'est pas un nombre réel,la proposition 2 est donc fausse.
   
   Remarque (4 étant un petit exposant ) : $(1+i \sqrt 3 )^2=1+2i\sqrt 3-3=-2+2i\sqrt 3$
   alors $(1+i \sqrt 3 )^4= \left ((1+i \sqrt 3 )^2\right )^2=(-2+2i\sqrt 3)^2=4-8i\sqrt 3-12=-8-8i\sqrt 3$
3. Soit $ABCDEFGH$ un cube.
   Proposition 3:Les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales. Figure On rapporte l'espace au repère orthonormal $\left (A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right )$ en choisissant $AB$ comme unité de longueur.
   On a , dans ce repère $E(0~,0~,1~);C(1~,1~,0~);\vec{EC}(1~, 1~,-1~);$
   $B(1~,0~,0~);G(1~,1~,1~);\vec{BG}(0~, 1~, 1~);$
   $\vec{EC}.\vec{BG}=xx'+yy'+zz'=0+1-1=0$
   Ayant $\vec{EC}.\vec{BG}=0$, les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales.
   
   Les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales.La proposition 3 est exacte.
4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},\vec{j},\vec{j},\vec{k}\right)$. Soit le plan $P$ d'équation cartésienne $x+y+3z+4=0$. On note S le point de coordonnées (1,2,-2).
   Proposition 4: La droite qui passe par $S$ et qui est perpendiculaire au plan $P$ a pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t
   y&=&-1+t
   z&=&1+3t \end{array}\right. \quad \text{avec}~ t \in \mathbb{R}.\] Une droite $D$ perpendiculaire au plan $P$ admet pour vecteur directeur un vecteur normal du plan $P$, soit ici $\vec{n}(1,1,3)$
   $S(1,-2,-2) \in D \Leftrightarrow \text{ il existe } t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c r} x_S&=&2+t\\ y_S&=&-1+t\\ z_S&=&1+3t \\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \text{ il existe } t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c r} 1&=&2+t \\ -2&=&-1+t\\ -2&=&1+3t \\\end{array}\right.$
   $S(1,-2,-2) \in D \Leftrightarrow \text{ il existe } t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c r} t&=&-1 \\ t&=&-1\\ t&=&-1\\ \end{array}\right. $ Il existe bien $t\in \mathbb{R} $ tel que $t=-1$ donc $S( 1,-2,-2)\in D$
   
   La droite $D$ perpendiculaire au plan $P$ passant par $S$ a pour représentation paramétrique : $$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t \\ y&=&-1+t\\ z&=&1+3t\\ \end{array}\right. \quad ~ t \in \mathbb{R}.$$