Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

    • Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page nosup> 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.

 

    • Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.

 

  • Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.


Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants :
$A_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 1 » et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.

$B_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 2 » et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.

$C_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 3 » et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$.
      On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$.
      Ainsi :
      \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\]
    2. Après la $(n+1)$-ème navigation, si l’internaute est la page n°$1$, à la $n$-ième navigation il était donc soit sur la page n° $2$ soit sur la page n°$3$.

 

      Par conséquent $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{2}c_n$
    1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
      $U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
      Montrer que, pour tout entier naturel $n, U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
    2. $U_{n+1} = \left(\begin{array}{l} \dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{1}{2}c_n \\\\ \dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{4}c_n \\\\ \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{4}c_n \end{array} \right)$

 

      $U_{n+1} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right) U_n = M\times U_n$ avec $M = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right)$

 

      Montrons par récurrence que $U_n = M^nU_0$


Initialisation

      : si $n=0$ alors $U_0 = I U_0$ (où $i$ est la matrice identité).

 

      La propriété est donc vraie au rang $0$.


Hérédité

      : supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n = M^nU_0$.

 

      $U_{n+1} = MU_n = MM^nU_0 = M^{n+1}U_0$.

 

      La propriété est donc vraie ua rang $n+1$.


Conclusion

      : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

 

      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $U_n = M^n U_0$
    1. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
    2. Soit $U = \left( \begin{matrix} x\\\\ y \\\\ z \end{matrix} \right)$ telle que $x+y+z = 1$ et $U = MU$.

 

      $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z \\\\y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{1}{4}z \\\\z = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{1}{4}z \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\2x=y+z\\\\4y=x+y+z \\\\4z=3x+y+z\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\x+y+2x-y = 1\\\\x-3y+2x-y=0 \\\\3x+y-3(2x-y)=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\3x=1\\\\3x-4y=0 \\\\-3x+4y=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\x=\dfrac{1}{3}\\\\y = \dfrac{1}{4} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3}\\\\y = \dfrac{1}{4} \\\\ z=\dfrac{5}{12} \end{array} \right.$

 

      Il existe donc une seule matrice $U = \left( \begin{matrix} x\\\\ y \\\\ z \end{matrix} \right)$ telle que $x+y+z = 1$ et $U = MU$.
    1. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n, n$ étant un entier naturel non nul :
      \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\]
      Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}, b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right), \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera.
    2. $\left\{ \begin{array}{l} a_n = \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \times 2}{3} \right) a_0 + \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) b_0 + \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) c_0 \\\\ b_n = \dfrac{1}{4} (a_0 + b_0 + c_0) \\\\ c_n = \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \times 2}{3} \right) a_0 + \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) b_0 + \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) c_0 \end{array} \right.$

 

      $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \left(\dfrac{-1}{2} \right)^n = 0$

 

    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} a_n = \dfrac{1}{3}$ , $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} b_n = \dfrac{1}{4}$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} c_n = \dfrac{5}{12}$ (car $a_0 + b_0 + c_0 = 1$).
  1. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
  2. Au bout d’un certain temps la page $1$ du site sera consultée $33,33 \%$ du temps, la page $2$ sera consultée $25 \%$ du temps et la page $3$ sera consultée $41,67 \%$ du temps.

 

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