Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013

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Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%.

L'étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
$M$ : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : « La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

        1. Faire un arbre pondéré modélisant la situation.

        1. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
        2. $$\begin{array}{ll}P(M \cap C)& =P(M)\times P_M(C)\\ &=0,1\times 0,3\\&=0,03\end{array}$$
      $$P(M \cap C) = 0,03$$
        1. Calculer $P(C)$.
        2. On utilise la partition $\Omega =M\cup \overline{M}$

          on a donc $C =(M\cap C)\cup (\overline{M}\cap C)$ $$\begin{array}{lll}P( C)& =P(M\cap C)+P(\overline{M}\cap C)&\text{ car cette union est disjointe }\\ &= P(M)\times P_M(C)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(C)&\\ &=0,1\times 0,3+ 0,9\times 0,08&\\&=0,102&\end{array}$$
      $$P( C) = 0,102$$
    1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
    2. Ici $C$ est réalisé , on veut donc calculer la probabilité conditionnelle $P_C(M)$ $$\begin{array}{lll}P_C(M) & =\dfrac{P(M\cap C)}{P( C)}&\text{ d'après la définition des probabilités conditionnelles. }\\ &=\dfrac{0,03}{0,102}&\\ &=\dfrac{30}{ 102}= \dfrac{5}{ 17}&\end{array}$$
$$P_C(M) = \dfrac{5}{ 17}$$

Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

    1. Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
    2. On répète $400$  fois, de façon indépendante, l’expérience «on choisit une personne au hasard dans la population française » qui comporte 2 issues :

      • « cette personne présente une malformation cardiaque de type anévrisme » considéré comme succès, de probabilité $p=0,1$
      • « cette personne ne présente pas une malformation cardiaque de type anévrisme » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=0,9$

      Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $400$  et $0,1$ notée $\mathscr{B}(400;0,1)$ .

      Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 400$, on a $$P(X=k)=\binom{400}{k}\times \left(0,1\right)^k\times\left( 0,9\right)^{400-k}$$

    3. Déterminer $P(X = 35)$ et en donner une interprétation.
    4. 2ND DISTR 0binomFdP( 400 , 0.1,35)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(400,0.1,35) \approx 0.0491$

      $$P( X = 35)\approx 0.0491 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$
Ayant $ P( X=35)\approx 0,0491$ signifie que la probabilité d'avoir, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française, exactement 35 personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme. française est environ 0,0491.
    1. Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
    2. On veut calculer ici $P(X\geq 30) = 1 -P(X\leq 29)$

       

      2ND DISTR AbinomFRép( 400 , 0.1,29)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(400,0.1,29) \approx 0.0357$$

      $$P( X \leq 29)\approx 0.0357 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$
Ayant $ P( X\geq 30 )\approx 0,9643$ signifie que la probabilité d'avoir, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française, au moins 30 personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme est environ 0,9643.

Partie C

    1. On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}, X$ étant la variable aléatoire de la Partie B . Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$ %.
    2. La proportion $p$ est égale à  $0,1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $400.$
      Comme  $ n =400$ ,   $n \times p  $=40  et $n\times (1-p)=360,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

      En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{400} = \left[0,1 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}~;~0,1 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}} \right]$$ 

      L’intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ est donc :

 

      $$I_{400} = \left[ 0,1 – 1,96\dfrac{\sqrt{0,1 \times 0,9}}{\sqrt{400}} ; 0,1 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,1 \times 0,9}}{\sqrt{400}} \right] = [0,0706;0,1294]$$
    1. Dans l'échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous?
    2. La fréquence observée est donc de $\dfrac{60}{400} = 0,15 \notin I_{400}$.

 

    Le nombre de personnes présentant une malformation cardiaque de type anévrisme est donc anormalement élevé.

 

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