Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017 - Exercice 4

Page 7 sur 8: Exercice 4

Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées après $90$ jours d'élevage. Un poulet de $90$ jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre $2,8$ kg et $3,2$ kg.

1. L'avicultrice a constaté que la masse $M$, exprimée en kg, de ses poulets de $90$ jours suit une loi normale de moyenne $3$ et d'écart type $0,1$.
   1. Déterminer au centième près la probabilité qu'un poulet de $90$ jours prélevé au hasard soit conforme.
   2. Déterminer au millième près la probabilité que la masse d'un poulet de $90$ jours prélevé au hasard soit supérieure à $3,3$ kg.
2. On admet dans cette question que $95$% des poulets de $90$ jours sont conformes. Un rôtisseur achète tous les samedis $100$ de ces poulets. On admet que le nombre de poulets de l'élevage est suffisamment important pour que cet achat puisse être assimilé à un prélèvement avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de poulets non conformes, c'est-à-dire dont la masse n'est pas dans l'intervalle $[2,8 ; 3,2]$.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
   2. Calculer l'espérance mathématique de $X$. Que représente ce nombre ?
3. Lors de son dernier achat, le rôtisseur a compté $9$ poulets non conformes. Il se plaint auprès de l'éleveur. Avec un tableur, on a calculé les probabilités $P(X \leqslant a)$ pour $a$ allant de $0$ à $13$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a & 0 & 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline P(X\leqslant a) & 0,0059 & 0,0371 & 0,1183 & 0,2578 & 0,4360 & 0,6160 & 0,7660 \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13\\ \hline P(X\leqslant a) & 0,8720 & 0,9369 & 0,9718 & 0,9885 & 0,9957 & 0,9985 & 0,9995 \\ \hline \end{array} $$
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence de poulets non conformes.
   2. Le rôtisseur a-t-il eu raison de se plaindre ?