Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013 - Exercice 4
Exercice 4 5 points
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
Partie A
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.
- Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
- Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
- Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
Partie B
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.
- Déterminer la probabilité $P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)$.
- Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
Partie C
On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles. On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5$\,\% $des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.
- Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.
- On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine ?
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