Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE 2013 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
$\mathbb R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.

1. Soit $z = - \sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :
   1. $\sqrt{2}$
   2. $- \sqrt{2}$
   3. $2$
Réponse a.
2. Soit $z = - \sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est :
   1. $\dfrac{\pi}{4}$
   2. $- \dfrac{\pi}{4}$
   3. $- \dfrac{3\pi}{4}$
$z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ : cette écriture n'est pas celle d'une forme exponentielle car $ \sqrt{2} < 0$.
On utilise le fait que $ - 1= \text{e}^{\text{i}\pi}$
Or $z = \text{e}^{\text{i}\pi} \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$ Un argument de $z$ est donc $\frac{5\pi}{4}$ à $2\pi$ près soit encore $- \frac{3\pi}{4}$.
Réponse c.
3. $f$ est définie par $f (t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$
   1. $f$ est solution de : & $y' + 3y = 0$
   2. $y''+ 25y = 0$
   3. $y'' - 5y = 0$
Si $f$ est définie par $f(t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$, alors $f'(t) = - 15 \sin \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$ et $f''(t) = - 75 \cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Donc $f''(t) + 25f(t) = 0$.
Réponse b.
4. Les solutions de l'équation $y' - 2y = 0$ sont les fonctions du type :
   1. $x \mapsto ke^{2x}$ avec $k \in \mathbb R$
   2. $x \mapsto ke^{- 2x}$ avec $k \in \mathbb R$
   3. $x \mapsto ke^{2x} + k$ avec $k \in \mathbb R$
$y' - 2y = 0\iff y'=2y$, cette équation différentielle est de la forme $y'=ay$ où $a=2$.
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions : $x \longmapsto C\text{e}^{2x}$ avec $C \in \mathbb R$.
Réponse a.
5. La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :
   1. $\left\{1 - e^3\right\}$
   2. $\left\{1 + e^3\right\}$
   3. $\left\{e^3 - 1\right\}$
$$\begin{array}{rl} \ln (x + 1) = 3 &\iff \text{e}^{\ln (x + 1)} = \text{e}^{3} \\ &\iff x + 1 = \text{e}^{3} \\ & \iff x = \text{e}^{3} - 1\end{array}$$
Réponse c.
6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est :
   1. $]- \infty ; \ln 8]$
   2. $]- \infty ; 3]$
   3. $]- \ln 3 ; \ln 5]$
   $$\begin{array}{rl} 2^x - 3 \leqslant 5 &\iff 2^x \leqslant 8 \\ & \iff x\ln 2 \leqslant \ln 8\\ & \iff x\ln 2 \leqslant \ln 2^3 \\ & \iff x \ln 2 \leqslant 3 \ln 2 \\ &\iff x \leqslant 3\end{array}$$
   Réponse b.