Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2013 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Fonctions exponentielles

On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20° C.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22h à 7h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 ° C. On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en ° C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;9]$

Partie A :

1. Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;9]$.
On éteint le chauffage, donc la température sera une fonction décroissante du temps sur l'intervalle [0,9],de 22 h à 7 h le lendemain matin.
On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(t) = 9 e^{-0,12t} + 11$.
2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
On étudie le signe de la dérivée:
Comme $f(t)=9 e^{-0,12t} +11$, on déduit $f'(t)=9\times (-0,12)e^{-0,12t}=-1,08e^{-0,12t}$.
On a utilisé la formule de dérivation $(e^u)'=u'e^u$.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$ et $-1,08 < 0$ donc $f ' (t) < 0$,
ce qui prouve que $f$ est une fonction décroissante du temps sur l'intervalle [0,9].
3. Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
$f(9)=9e^{-0,12\times 9} +11=9e^{-1,08} +11\approx 14,1^{\circ}$C.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15° C.
On trace la courbe d'équation $y=9 e^{-0,12x} +11$, la droite d'équation $y=15$ et on utilise l'outil intersection.

On voit ainsi que la température est inférieure à 15$^{\circ}$C pour $ t\approx 6,75$, c'est à dire à 4 h 45 min environ.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
On résout $f(t)<15$ $$\begin{array}{lll}f(t) < 15 & \Leftrightarrow 9 e^{-0,12t} +11 < 15& \\ & \Leftrightarrow 9 e^{-0,12t} < 4 &\\ & \Leftrightarrow e^{-0,12t}<\dfrac{4}{9} & \text{ On applique la fonction } \ln \\ &&\text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ :\\ & \Leftrightarrow \ln \left (e^{-0,12t}\right ) < \ln \left (\dfrac{4}{9}\right )&\\ & \Leftrightarrow -0,12 t <\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )&\\ & \Leftrightarrow t >-\dfrac{\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )}{0,12}& \end{array}$$ $-\dfrac{\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )}{0,12}\approx 6,7577 $
l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15$^{\circ}$C est environ 4 heures 45 minutes et 28 secondes.

Partie B :

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0;9]$, \[g(t) = 0,7e^{-0,12t}.\] L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22h et 7h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale \[\mathcal{E} = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.\]

1. Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
On calcule une primitive $G$ de $g$:
$$\begin{array}{rl } G(t)&=0,7\times \dfrac{e^{-0,12t}}{-0,12}\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-0,12t}\\ \mathcal{E}&=\int_{0}^{9} g(t)\;dt \\ &=G(9)-G(0)\\G(9)&=-\dfrac{7}{12}e^{-0,12\times 9}\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-1,08}\\ G(0) & =-\dfrac{7}{12}e^{0}\\&=-\dfrac{7}{12}\\ \mathcal{E}&=G(9)-G(0)\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-1,08}+\dfrac{7}{12} \end{array} $$
$\mathcal{E}=\dfrac{7}{12}\left (1-e^{-1,08}\right )kWh$
On a utilisé le fait que $t\mapsto e^{at}$ a pour primitives $t\mapsto \dfrac{e^{at}}{a}+C$
2. En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$kWh près.
$\mathcal{E}=\dfrac{7}{12}\left (1-e^{-1,08}\right )kWh\approx 3,9\; kWh $