Dérivées - Fonction dérivée

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Calcul de fonctions dérivées

En pratique, pour calculer les fonctions dérivées, on calcule une fois pour toute les dérivées de fonctions usuelles (par le taux d'accroissement, voir tableau onctionsusuelle ), et on les utilise avec les règles de calcul du tableau des dérivées et opérations :
Exemple
Soit $f:\mathbb{R}-\{0\}\to\mathbb{R}, x\mapsto \dfrac 1x$. Pour $x\neq 0$, calculer $\tau_{x,h}f$ et en déduire $f'(x)$.

Exemple
Soit $g:]0;+\infty[\to\mathbb{R}, x\mapsto \sqrt x$. Calculer $\tau_{x,h}f$ et en déduire $f'(x)$.

Opérations sur les dérivées

Preuve
$\star$ Pour la somme, on calcule le taux d'accroissement de $(u+v)$ : $\tau_{x,h}(u+v)=\dfrac{u(x+h)+v(x+h)-(u(x)+v(x))}h=\dfrac{u(x+h)-u(x)}h+\dfrac{v(x+h)-v(x)}h=\tau_{x,h}u+\tau_{x,h}v$.

En faisant tendre $h$ vers $0$ on a bien : $(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$.

$\star$ Pour le produit, on procède de même : $$\begin{array}\\ \tau_{x,h}(u\times v)(x)&=&\dfrac{u(x+h)\times v(x+h)-u(x)\times v(x)}h \\ &=& \dfrac{u(x+h)\times v(x+h)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)-u(x)\times v(x)}h \\ &=& \dfrac{u(x+h)-u(x)}h\times v(x+h)+u(x)\times\dfrac{v(x+h)-v(x)}h \end{array}$$

En faisant tendre $h$ vers $0$ on a bien : $(u\times v)'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.

$\star$ La dérivée de $ku$ est un cas particulier de la situation précédente : $v(x)=k$ et $v'(x)=0$. 

$\star$ La dérivée de $\dfrac 1v$ est un cas particulier de composition de fonctions. 

$\star$ La dérivée de $\dfrac uv$ s'obtient par la formule de dérivée d'un produit appliquée à $u\times\dfrac 1v$. 

Exemple
Dérivabilité et dérivée de $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x\sin(x)$

Exemple
Calculer la dérivée de $u:\mathbb{R}-\{0\}\to\mathbb{R}, x\mapsto \dfrac 1{x^n}$ ($n\geq 1$ entier). En déduire que la deuxième formule des dérivées usuelles est en fait valable pour $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$.

Fonctions composées

Soit deux fonctions dérivables $u:I\to J$ et $v:J\to\mathbb{R}$. La fonction $v\circ u$ est dérivable de dérivée : $(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)$ (donc $(v\circ u)'(x)=u'(x)\times v'(u(x))$.

Preuve : On calcul le taux d'accroissement : pour $h$ tel que $v(u(x+h))-v(u(x))\neq 0$ : \[\tau_{x,h}v\circ u=\dfrac{v(u(x+h))-v(u(x))}{h}=\dfrac{v(u(x+h))-v(u(x))}{u(x+h)-u(x)}\times\dfrac {u(x+h)-u(x)}h\] Or $\displaystyle\lim_{x\to h}u(x+h)=u(x)$ donc par composition, en posant $X=u(x+h)$ et $X_0=u(x)$ : \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{v(u(x+h))-v(u(x))}{u(x+h)-u(x)}=\displaystyle\lim_{X\to X_0}\dfrac{v(X)-v(X_0)}{X-X_0}=v'(X_0)=v'(u(x))\] et par produit : $\displaystyle\lim_{h\to 0}\tau_{x,h}v\circ u=v'(u(x)) \times u'(x)$.

Exemple
Soit $u$ est dérivable sur $I$. Dérivabilité et dérivée de $u^n$ ?

Exemple
Soit $u$ est dérivable sur $I$. Dérivabilité et dérivée de $\sin(u)$ ?

Exemple
Soit $u$ est dérivable sur $I$ et strictement positive. Dérivabilité , dérivée de $\sqrt u$ ?

Exemple
Dérivabilité et dérivée de $f:]-\infty;3[, x\mapsto \sqrt{3-x}$.

Exemple
Dérivabilité et dérivée de $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto \cos(x^2)$.