Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2019 - Correction Exercice 1
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Correction de l'exercice 1 (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
- Une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la ,station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
- 0,560
- 0,25
- 1
- 0,103
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients pratiquant le surf.
- On effectue $80$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. À chaque tirage il y a deux issues :
- – $S$ : “le client pratique le surf”;
- – $\overline{S}$ : “le client ne pratique pas le surf”.
- De plus $p(S)=0,25$
- La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,25$.
- Par conséquent :
- $P(X=20)=\displaystyle \binom{80}{20}\times 0,25^{20}\times 0,75^{60}\approx 0,103$
Réponse d
- L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ cm et d'écart-type inconnu. On sait que $P(X \geqslant 200) = 0,025$. Quelle est la probabilité $P ( X \geqslant 100)$ ?
- On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l'énoncé.
- 0,025
- 0,95
- 0,975
On a $P(X\geq 200)=P(X\geq 150+50)=0,025$
- Donc $P(X\leq 150-50)=0,025$ soit $P(X\leq 100)=0,025$.
- Ainsi $P(X\geq 100)=1-0,025=0,975$.
Réponse d
- Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$~ans. Ainsi $E(T) = 5$. La probabilité $P(T \geqslant 5)$ est égale à :
- 0,5
- $1 - \text{e}^{-1}$
- $\text{e}^{-1}$
- $\text{e}^{- 25}$
$E(T)=5$ par conséquent la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\dfrac{1}{5}=0,2$.
- Ainsi $P(T\geq 5)=\text{e}^{-0,2\times 5}=\text{e}^{-1}$
Réponse c
- L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$. Le nombre de clients à interroger est :
- 50
- 2500
- 25
- 625
L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :
- $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
- On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \iff \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}$.
- Donc $\sqrt{n}=50$ et $n=2~500$.
Réponse b
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