Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Spécialité
Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Deux matrices colonnes (xy) et (x′y′) à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si {x≡x′ [5]y≡y′ [5].
Deux matrices carrées d'ordre 2 (acbd) et (a′c′b′d′) à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si {a≡a′ [5]b≡b′ [5]c≡c′ [5]d≡d′ [5].
Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.
- Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
- Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
- Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne (xy) déduite du tableau ci-contre : x est le chiffre situé en haut de la colonne et y est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre T d'un message initial correspond à la matrice colonne (43).
- On calcule une nouvelle matrice (x′y′) en multipliant (xy) à gauche par la matrice M : (x′y′)=M(xy).
- On calcule r′ et t′ les restes respectifs des divisions euclidiennes de x′ et y′ par 5.
012340ABCDE1FGHIJ2KLMNO3PQRST4UVXYZ Remarque : la lettre W est remplacée par les deux lettres accolées V.
- On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne (r′t′).
- Bob et Alice choisissent la matrice M=(1234).
- Montrer que la lettre « T» du message initial est codée par la lettre « U» puis coder le message « TE» . T est remplacé par la matrice (43)
- On pose P=(3142). Montrer que les matrices PM et I=(1001) sont congrues modulo 5. On a PM=(6101016)
- On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et Z=(xy), Z′=(x′y′) deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5. On note A=(abcd) et A′=(a′b′c′d′)
Ainsi (x′y′)=M(43)=(1024)
Or 10≡0 [5] et 24≡4 [5].
Donc (rr′)=(04) ce qui représente la lettre U.
E est remplacé par la matrice (40)
Ainsi (x′y′)=M(40)=(412)
Or 4≡4 [5] et 12≡2 [5].
Donc (rr′)=(42) ce qui représente la lettre O.
Le message TE est donc codé par UO.
Or 6≡1 [5], 10≡0 [5] et 16≡1 [5].
Donc PM et I sont congrues modulo 5.
Ainsi AZ=(ax+bycx+dy)
Mais :
– si a≡a′ [5] et x≡x′ [5] alors ax≡a′x′ [5]
– si e≡e′ [5] et f≡f′ [5] alors e+f≡e′+f′ [5].
Donc ax+by≡a′x′+b′y′ [5] et cx+dy≡c′x′+d′y′ [5].
Par conséquent les matrices AZ et A′Z′ sont congrues modulo 5.
Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.
-
- On note X=(x1x2) et Y=(y1y2) deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de « décoder» une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie. D’après la question précédente, les matrices PMX et PY sont congrues modulo 5.
- Décoder alors la lettre « D» . La lettre D est associée à la matrice Y=(30)
D’après la question 1.b. les matrices PM et I sont congrues modulo 5.
Par conséquent, les matrices X et PY sont congrues modulo 5.
Ainsi si on a MX=Y alors, pour décoder la lettre associée à la matrice Y modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice PY modulo 5.
PY=(912)
qui est congrue modulo 5 à la matrice (42).
Ainsi la lettre D est décodée en O.
- On souhaite déterminer si la matrice R=(1243) peut être utilisée pour coder un message.
- On pose S=(2244). Vérifier que la matrice RS et la matrice (0000) sont congrues modulo 5. On a RS=(10102020) qui est bien congru modulo 5 à la matrice (0000).
- On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M). Si TR et I sont congrues modulo 5 alors, d’après la procédure fournie, les matrices TRS et IS sont congrues modulo 5.
- En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé. On note Q=(0000)
Cela signifie donc que TRS et S sont congrues modulo 5.
RS est Q sont congrues modulo 5
Donc TRS et TQ sont congrues modulo 5.
Or TQ=(0000)=Q.
D’après la question précédente cela signifie donc que I et (0000) sont congrues modulo 5.
Or 1 et 0 ne sont pas congrus modulo 5.
Ainsi la matrice T n’existe pas et un message codé par la matrice R ne peut être décodé.
- Vues: 50932