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Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Deux matrices colonnes (xy) et (xy) à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si {xx [5]yy [5].
Deux matrices carrées d'ordre 2 (acbd) et (acbd) à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si {aa [5]bb [5]cc [5]dd [5].
Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

  • Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
  • Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
  • Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne (xy) déduite du tableau ci-contre : x est le chiffre situé en haut de la colonne et y est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre T d'un message initial correspond à la matrice colonne (43).
  • On calcule une nouvelle matrice (xy) en multipliant (xy) à gauche par la matrice M : (xy)=M(xy).
  • On calcule r et t les restes respectifs des divisions euclidiennes de x et y par 5.

012340ABCDE1FGHIJ2KLMNO3PQRST4UVXYZ Remarque : la lettre W est remplacée par les deux lettres accolées V.

  • On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne (rt).
  1. Bob et Alice choisissent la matrice M=(1234).
    1. Montrer que la lettre « T» du message initial est codée par la lettre « U» puis coder le message « TE» .
    2. T est remplacé par la matrice (43)
      Ainsi (xy)=M(43)=(1024)
      Or 100 [5] et 244 [5].
      Donc (rr)=(04) ce qui représente la lettre U.

      E est remplacé par la matrice (40)
      Ainsi (xy)=M(40)=(412)
      Or 44 [5] et 122 [5].
      Donc (rr)=(42) ce qui représente la lettre O.

      Le message TE est donc codé par UO.

    3. On pose P=(3142). Montrer que les matrices PM et I=(1001) sont congrues modulo 5.
    4. On a PM=(6101016)
      Or 61 [5], 100 [5] et 161 [5].
      Donc PM et I sont congrues modulo 5.

    5. On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et Z=(xy), Z=(xy) deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.
    6. On note A=(abcd) et A=(abcd)
      Ainsi AZ=(ax+bycx+dy)
      Mais :
      – si aa [5]  et xx [5] alors axax [5]
      – si ee [5] et ff [5] alors e+fe+f [5].
      Donc ax+byax+by [5] et cx+dycx+dy [5].
      Par conséquent les matrices AZ et AZ sont congrues modulo 5.


Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.

    1. On note X=(x1x2) et Y=(y1y2) deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de « décoder» une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
    2. D’après la question précédente, les matrices PMX et PY sont congrues modulo 5.
      D’après la question 1.b. les matrices PM et I sont congrues modulo 5.
      Par conséquent, les matrices X et PY sont congrues modulo 5.

      Ainsi si on a MX=Y alors, pour décoder la lettre associée à la matrice Y  modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice PY modulo 5.

    3. Décoder alors la lettre « D» .
    4. La lettre D est associée à la matrice Y=(30)
      PY=(912)
      qui est congrue modulo 5 à la matrice (42).
      Ainsi la lettre D est décodée en O.
  1. On souhaite déterminer si la matrice R=(1243) peut être utilisée pour coder un message.
    1. On pose S=(2244). Vérifier que la matrice RS et la matrice (0000) sont congrues modulo 5.
    2. On a RS=(10102020) qui est bien congru modulo 5 à la matrice (0000).

    3. On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M).
    4. Si TR et I sont congrues modulo 5 alors, d’après la procédure fournie, les matrices TRS et IS sont congrues modulo 5.
      Cela signifie donc que TRS et S sont congrues modulo 5.

    5. En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé.
    6. On note Q=(0000)
      RS est Q sont congrues modulo 5
      Donc TRS et TQ sont congrues modulo 5.
      Or TQ=(0000)=Q.
      D’après la question précédente cela signifie donc que I et (0000) sont congrues modulo 5.
      Or 1 et 0 ne sont pas congrus modulo 5.
      Ainsi la matrice T n’existe pas et un message codé par la matrice R ne peut être décodé.
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