Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019
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Exercice 1 5 points
Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.
Une usine fabrique des tubes.
Partie A
Les questions 1. et 2 . sont indépendantes.
On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.
- Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètre et $1,65$ millimètre.
- On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $0,07$.
On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle. - L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $\sigma_1$.
Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1 - 1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
- On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $0,07$.
- Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298~;~302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2% de tubes non « conformes pour la longueur» est acceptable.
On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur» .- Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$ % de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur» dans un échantillon de $250$ tubes.
- Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
Partie B
Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l'épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que :
- 96% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme;
- parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95% ont une longueur conforme;
- 3,6% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.
On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :
- $E$ : « l'épaisseur du tube est conforme» ;
- $L$ : « la longueur du tube est conforme» .
On modélise l'expérience aléatoire par un arbre pondéré :
- Recopier et compléter entièrement cet arbre.
- Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à 0,948.
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