Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

 


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.
Une usine fabrique des tubes.

Partie A


Les questions 1. et 2 . sont indépendantes.
On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

  1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètre et $1,65$ millimètre.
    1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $0,07$.
      On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
    2. On veut calculer $P(1,35\leq X\leq 1,65)$.
      D’après la calculatrice on trouve $P(1,35\leq X\leq 1,65)\approx 0,968$.

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

      $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

       

    3. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $\sigma_1$.
      Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1 - 1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
    4. La variable $Z=\dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ suit la loi normale centrée réduite.
      On a
      $\begin{align*} P\left(1,35\leq X_1\leq 1,65\right)=0,98 &\iff P\left(-0,15 \leq X_1-1,5\leq 0,15\right)=0,98 \\
      &\iff P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \leq \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
      &\iff P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \leq Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
      &\iff 2P\left(Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)-1=0,98\quad\text{(propriété du cours)}\\
      &\iff 2P\left(Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=1,98 \\
      &\iff P\left(Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,99\end{align*}$
      À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_1} \approx 2,326$ et donc $\sigma_1 \approx 0,064$.
      $\quad$
  • Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298~;~302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2% de tubes non « conformes pour la longueur» est acceptable.
    On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur» .
    1. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$ % de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur» dans un échantillon de $250$ tubes.
    2. On a $n=250$ et $p=0,02$.
      Donc $n\geq 30$, $np=5\geq 5$ et $n(1-p)=245\geq 5$.
      Un intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » est :
      $\begin{align*} I_{250}&=\left[0,02-1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}};0,02+1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}}\right] \\
      &\approx [0,002;0,038]\end{align*}$
      $\quad$
    3. Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
    4. La fréquence observée est $f=\dfrac{10}{250}=0,04\notin I_{250}$.
      Au risque d’erreur de $5\%$, il faut réviser la machine.
  •  

    Partie B


    Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l'épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que :

    • 96% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme;
    • parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95% ont une longueur conforme;
    • 3,6% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

    On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :

    • $E$ : « l'épaisseur du tube est conforme» ;
    • $L$ : « la longueur du tube est conforme» .

    On modélise l'expérience aléatoire par un arbre pondéré :
    Arbre Liban

    1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.

    2. Arbre Liban
    3. Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à 0,948.
    4. D’après la formule des probabilités totales on a :
      $\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\overline{E}\cap L\right) \\
      &=0,96\times 0,95+0,036 \\
      &=0,948\end{align*}$
      $\quad$
    Exercice 2
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