Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Correction Exercice 1
Correction de l'exercice 1 (6 points)
Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.
Partie A
À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:
- la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98.
- la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.
À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : $A$ l' évènement: « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ; $C$ l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ». On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.
- Montrer que $P(C) = 0,03x+ 0,95$. $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\overline{A}\cap C\right) \\
- À l'issue de la production, on constate que 96\,\% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A. On sait que :
&=0,98x+0,95(1-x)\\
&=0,98x+0,95-0,95x\\
&=0,03x+0,95
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} p(C)=0,96 &\iff 0,03x+0,95=0,96\\
&\iff 0,03x=0,01\\
&\iff x = \dfrac{1}{3}
\end{align*}$
Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
$\quad$
Partie B
Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
- La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle. On sait que $E(Z)=5$ or $E(Z)=\dfrac{1}{\lambda}$
- Calculer $P(Z> 2)$. $P(Z>2)=\text{e}^{-0,2\times 2}=\text{e}^{-0,4}$
- Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ? On veut calculer $P_{Z\geqslant 3}(Z\geqslant 5)=P_{Z\geqslant 3}(Z\geqslant 3+2)$.
Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda}=5 \iff \lambda = \dfrac{1}{5}=0,2$.
$\quad$
Les lois exponentielles sont sans vieillissement.
Par conséquent :$P_{Z\geqslant 3}(Z\geqslant 3+2)=P(Z\geqslant 2)=\text{e}^{-0,4}$.
$\quad$
Partie C
On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$.
- Calculer $P(83 < X < 87)$.
Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage ? A l’aide de la calculatrice on trouve $P(83 \leqslant X \leqslant 87)\approx 0,683$. - Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: \[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9 .\] Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. $\quad$
- La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 ; 88,3]. Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère. Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?
2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$
La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage est :
$1-P(83 \leqslant X\leqslant 87) \approx 0,317$.
$\quad$
$\begin{align*} P(85-a\leqslant X\leqslant 85+a)=0,9&\iff P(-a\leqslant X-85\leqslant a)=0,9 \\
&\iff P\left(-\dfrac{a}{2}\leqslant \dfrac{X-85}{2}\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,9
\end{align*}$
La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-85}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
Par conséquent :
$\begin{align*} P\left(-\dfrac{a}{2}\leqslant \dfrac{X-85}{2}\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,9 &\iff P\left(-\dfrac{a}{2}\leqslant Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,9 \\
&\iff 2P\left(Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)-1=0,9\\
&\iff 2P\left(Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=1,9\\
&\iff P\left(Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,95
\end{align*}$
A l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $\dfrac{a}{2}\approx 1,645$
Par conséquent $a\approx 3,29$.
2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$
La proportion $p$ est égale à $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à $\2.$
Comme $ n =\2$ , $n \times p $=\3 et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% $ est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$
\end{align*}$
La fréquence observée de tablettes répondant au critère annoncé est $f=\dfrac{550-80}{550}\approx 0,855 \notin I_{10~000}$.
Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation du responsable achat de l’enseigne.
$\quad$
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