Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats

 

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A


À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

  • la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98.
  • la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : $A$ l' évènement: « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ; $C$ l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ». On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

  1. Montrer que $P(C) = 0,03x+ 0,95$.
  2. $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\overline{A}\cap C\right) \\
    &=0,98x+0,95(1-x)\\
    &=0,98x+0,95-0,95x\\
    &=0,03x+0,95
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. À l'issue de la production, on constate que 96\,\% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
  4. On sait que :
    $\begin{align*} p(C)=0,96 &\iff 0,03x+0,95=0,96\\
    &\iff 0,03x=0,01\\
    &\iff x = \dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
    $\quad$

 

Partie B


Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.
  2. On sait que $E(Z)=5$ or $E(Z)=\dfrac{1}{\lambda}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda}=5 \iff \lambda = \dfrac{1}{5}=0,2$.
    $\quad$
  3. Calculer $P(Z> 2)$.
  4. $P(Z>2)=\text{e}^{-0,2\times 2}=\text{e}^{-0,4}$
  5. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?
  6. On veut calculer $P_{Z\geqslant 3}(Z\geqslant 5)=P_{Z\geqslant 3}(Z\geqslant 3+2)$.
    Les lois exponentielles sont sans vieillissement.
    Par conséquent :$P_{Z\geqslant 3}(Z\geqslant 3+2)=P(Z\geqslant 2)=\text{e}^{-0,4}$.
    $\quad$

 

Partie C


On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$.

  1. Calculer $P(83 < X < 87)$.
    Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage ?
  2. A l’aide de la calculatrice on trouve $P(83 \leqslant X \leqslant 87)\approx 0,683$.

    2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

    La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage est :
    $1-P(83 \leqslant X\leqslant 87) \approx 0,317$.
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: \[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9 .\] Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. $\quad$
    $\begin{align*} P(85-a\leqslant X\leqslant 85+a)=0,9&\iff P(-a\leqslant X-85\leqslant a)=0,9 \\
    &\iff P\left(-\dfrac{a}{2}\leqslant \dfrac{X-85}{2}\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,9
    \end{align*}$
    La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-85}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P\left(-\dfrac{a}{2}\leqslant \dfrac{X-85}{2}\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,9 &\iff P\left(-\dfrac{a}{2}\leqslant Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,9 \\
    &\iff 2P\left(Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)-1=0,9\\
    &\iff 2P\left(Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=1,9\\
    &\iff P\left(Z\leqslant \dfrac{a}{2}\right)=0,95
    \end{align*}$
    A l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $\dfrac{a}{2}\approx 1,645$
    Par conséquent $a\approx 3,29$.

    2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

    $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
    Cela signifie donc que $90\%$ des tablettes de chocolat commercialisable on une teneur en cacao comprise entre $81,71\%$ et $88,29\%$.
  5. La chocolaterie vend un lot de  10000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7 ; 88,3]. Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère. Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?
  6.  

    La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

    $\begin{align*} I_{10~000}& =[0,89~412;0,90~588]
    \end{align*}$
    La fréquence observée de tablettes répondant au critère annoncé est $f=\dfrac{550-80}{550}\approx 0,855 \notin I_{10~000}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation du responsable achat de l’enseigne.
    $\quad$
Exercice 2
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