Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (3 points)


Commun à tous les candidats


Fonctions exponentielles

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels par \[f(x) = 2\text{e}^x-\text{e}^{2x}\] et $\mathcal C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~\ln(2)]$, $f(x)$ est positif. Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Proposition A :


L'aire du domaine délimité par les droites d'équations $x=0$ et $x = \ln (2)$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal C$ est égale à $1$ unité d'aire.

Fausse

La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $\left[0;\ln(2)\right]$. On veut donc calculer :
$\begin{align*}I&=\displaystyle \int_0^{\ln(2)} f(x)\text{d}x \\
&=\left[2\text{e}^x-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\right]_0^{\ln 2} \\
&=2\times 2-\dfrac{1}{2}\times 2^2-\left(2-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\\
&\neq 1
\end{align*}$

$\quad$

Partie B

Soit $n$ un entier strictement positif. Soit la fonction $f_n$ définie sur l'ensemble des nombres réels par $$f_n(x) = 2n\text{e}^x-\text{e}^{2x}$$ et $\mathcal C_n$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que $f_n$ est dérivable et que $\mathcal C_n$ admet une tangente horizontale en un unique point $S_n$. Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Proposition B :


Pour tout entier strictement positif $n$, l'ordonnée du point $S_n$ est $n^2$.

Proposition B vraie

La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} {f_n}'(x)&=2n\text{e}^x-2\text{e}^{2x} \\
&=2\text{e}^x\left(n-\text{e}^x\right)
\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive donc ${f_n}'(x)=0 \iff n=\text{e}^x \iff x=\ln(n)$

$f\left(\ln(n)\right)=2n\times n-n^2=n^2$

$\quad$

 

Exercice 4
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