Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 (3 points)


Fonctions exponentielles

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A


Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels par \[f(x) = 2\text{e}^x-\text{e}^{2x}\] et $\mathcal C$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~\ln(2)]$, $f(x)$ est positif. Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

Proposition A :


L'aire du domaine délimité par les droites d'équations $x=0$ et $x = \ln (2)$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal C$ est égale à $1$ unité d'aire.

Partie B


Soit $n$ un entier strictement positif. Soit la fonction $f_n$ définie sur l'ensemble des nombres réels par $$f_n(x) = 2n\text{e}^x-\text{e}^{2x}$$ et $\mathcal C_n$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que $f_n$ est dérivable et que $\mathcal C_n$ admet une tangente horizontale en un unique point $S_n$. Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

Proposition B :


Pour tout entier strictement positif $n$, l'ordonnée du point $S_n$ est $n^2$.

 

Correction Exercice 3
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