BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Fonctions et suites

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = x - \ln \left(x^2 + 1\right).\]

1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation : $f(x) =x$.
2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet.
   
3. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~1]$, $f(x)$ appartient à $[0~;~1]$.
4. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l|c|}\hline \text{Variables }& N \text{ et } A \text{des entiers naturels ;}\\ \hline \text{Entrée } &\text{Saisir la valeur de } A \\ \hline \text{Traitement } &N \text{ prend la valeur } 0 \\ &\text{Tant que } N - \ln\left(N^2 + 1\right) < A \\ &\hspace{0,6cm} N \text{ prend la valeur } N + 1 \\ &\text{Fin tant que}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } N \\ \hline \end{array} $$
   1. Que fait cet algorithme ?
   2. Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est 100.

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n -\ln \left(u_n^2 + 1\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à $[0~;~1]$.
2. Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
4. On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$. En déduire la valeur de $\ell$.